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1、椅子放平稳问题椅子放平稳问题 所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题. 问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？ 1.模型假设 (文字转化为数学语言) (1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形； (2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即视地面为数学上的连续曲面； (3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 2.模型建立 设椅脚的连线为正方形 AB
2、CD，对角线 AC与 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、C两脚与地面距离之和为 f(q)，B、D两脚与地面距离之和为 g(q).显然f(q)0、g(q)0。 因此椅子和地面的距离之和可令h(q)=f(q)+g(q)。由假设，f(x)、g(x)为连续函数，因此h(q)也是连续函数；由假设，得：f(q)g(q)=0。则该问题归结为： 已知连续函数f(q)0、g(q)0且f(q)g(q)=0，至少存在一个q0，使得： x轴重合，坐标原点 O在椅子中心，当椅子绕 O点旋转后，对角线 AC变为 AC，AC与 x轴的夹角为q. f(q0)=g(q0)=0 3.模型求解 证明：不妨设f(0)0,则g(0)=0 令q=p2o。则有f=0,g0 pp22定义：H(q)=f(q)-g(q)，所以H(0)H=-f(0)g0 pp22根据连续函数解的存在性定理，得：存在qp0(0,2) 使得：H(q0)=f(q0)-g(q0)=0； 又 f(q0)g(q0)=0 所以f(q0)=g(q0)=0 即 当q=q0时，四点均在同一平面上。
