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1、椭圆 简单例题 答案例1已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为求m的值 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a2=b2+c2可求出m的值 x2y2+=1因为焦点在y轴上，所以2m6，解得m3 解：方程变形为62m又c=2，所以2m-6=22，m=5适合故m=5 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a=3b，求椭圆的标准方程 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a和b的值，即可求得椭圆的标准方程 x2y2解：当焦点在x轴上时，设其方程为2+2=1(ab0) ab0)，知由椭圆过点P(3，x2+y2=1 程为990
2、+=1又a=3b，代入得b2=1，a2=9，故椭圆的方22aby2x2当焦点在y轴上时，设其方程为2+2=1(ab0) ab0)，知由椭圆过点P(3，y2x2+=1 的方程为81990+=1又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆22ab例3DABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹 分析：由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解 由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程 BC中点为原点建立直角坐标系解：以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为(x，y)，C为焦点的椭圆，由GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、且除
3、去轴上两点因a=10，c=8，有b=6， x2y2+=1(y0) 故其方程为10036x2y2+=1(y0) 设A(x，y)，G(x，y)，则10036xx=，x2y23+=1(y0)，由题意有代入，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆 例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 解：设两焦点为F1、F2，且PF1=4525和，334525，PF2=从椭圆定义知332a=PF1+PF2=25即a=5 从PF2F1中，1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtDPFsinPF1F2=PF21=， PF21可求出PF1
4、F2=p6，2c=PF1cosp6=1025222，从而b=a-c= 33x23y23x2y2+=1或+=1 所求椭圆方程为510105x2y2例5已知椭圆方程2+2=1(ab0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是ab椭圆上一点，A1PA2=q，F1PF2=a求：DF1PF2的面积 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用SD=解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限 由余弦定理知：F1F221absinC求面积 22=PF1+PF2-2PF1PF2cosa=4c 222b2由椭圆定义知：PF 1PF2=1+PF2=2a，则得PF1+cosa2故
5、SDF1PF212b21a=PF1PF2sina=sina=b2tan 2221+cosa2例6 已知动圆P过定点A(-3，0)，且在定圆B：(x-3)+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点， 即定点A(-3，0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即PA+PB=PM+PB=BM=8点P的轨迹是以A，B为两焦点， x2y2+=1 半长轴为4，半短轴长为b=4-3=7的椭圆的方程：16722说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方
6、程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 例7已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ 若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程 5222解：把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x+y=1得4x2+(x+m)=1， 22即5x+2mx+m-1=0D=(2m)-45m2-1=-16m2+200，解得2()-55 m22m2-12mx1x2=x2，设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，由得x1+x2=-， 55m2-12102m=根据弦长公式得：1+1-解得m=0方程为y=x -455522说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和
7、圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式D；解决弦长问题，一般应用弦长公式 用弦长公式，若能合理运用韦达定理，可大大简化运算过程 x2y2+=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所例8以椭圆123作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点的距离之和最小，只须利用对称就可解决 x2y2+=1的焦点为F1(-3，解：如图所示，椭圆0)，F2(3，0) 123点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为，直线FF2的方程为x+2y-3=0 解方程组x+2y-3=0得交点M的坐标为此时MF1+MF2最小 x-y+9=0c=3， 所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，a=35，又x2y2+=1 b=a-c=35-3=36因此，所求椭圆的方程为4536222()22
