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1、椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明 椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明 x2y2题目：已知F1,F2为椭圆2+2=1(ab0)的焦点，P为椭圆上一点。求证：点Pab处的切线PT必平分DPF1F2在P处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理. 证法1 设F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). x2y22x2y.y对椭圆方程2+2=1两边求导得，2+=0 2ababb2x y=-2 ay k=kpT=y(x0,y0)y l M 1 3 P 4 N 2 T l1 x b2x0=-2 ay0F1 O D F2 又k1=kpF1=y0y0，k2=kpF2=，
2、x0+cx0-cl2 由到角公式知 b2x0y-2-0ay0x0-ck-k2 tan2=2bxy1+kk21-20.0ay0x0-c22b2cx0-(b2x0+a2y0) =2 (a-b2)x0y0-a2cy0b2cx0-a2b2b2(cx0-a2)b2 =2， =22cx0y0-acy0cy0(cx0-a)cy0y0b2x0+2x0+cay0k1-kb2同理tan1=. =2ybx1+k1kcy01-0.20x0+cay0 1,2(0,p)， 1=2， 又1=4， 2=4 证法2 设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0,y0)，如图1，过F1、F2作切线PT的垂线，垂足分别为M、N.
3、切线PT的方程为x0xy0y+2=1，则点F1、F2到PT的距离为 2abF1M=-cx0-12axy+ab204204， F2N=cx0-1a2xy+ab204204-cx0-122-cx-aF1M0a= 2cx0-1F1Ncx0-aa2 =-ex0-aex0-a=a+ex0a-ex0=PF1PF2 DPMF1DPNF2 1=2, 又1=4 2=4. 两种证法都是由1=2导出，如图，设PD为法线，则PD平分F1PF2，故得如下重要定理. 定理 在椭圆上任意一点P的法线，平分该点两条焦半径的夹角. 把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到角.tan=(k2-k1)/(1+k1k2)
