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1、椭圆经典例题讲解椭圆基础过关 1椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在来源:学科网ZXXK(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e，且e 的点的轨迹叫椭圆定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 2椭圆的标准方程(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：a2= )x2a2+y2b2=1，其中( 0，且(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是焦点在哪个轴上如何判断？ 3椭圆的几何性质
2、(对x2a2+y2b2y2a2+x2b2其中a，b满足： =1，=1,a b 0进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： (4) 离心率：e= ( 与 的比)，e ，e越接近1，椭圆越 ；e越接近0，椭圆越接近于 (5) 焦半径公式：设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则PF1= ，PF2=2a-PF1= 。4焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：r12r222r1r2cosq(2c)12122(3) 面积：SDPF1
3、F2r1r2 sinq2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2q)典型例题 x2y2变式训练2：已知P是椭圆2+2=1上的任意一点，F1、F2是焦点，ab求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=11|PF1|=2(a-r)=a-r.22故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理
4、，使题目得证。2例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y=-4x的焦点重合，过F1的直线CD=22l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当直线l与x轴垂直时，AB求椭圆的方程；求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；求F2AF2B的最大值和最小值解：由抛物线方程，得焦点F1(-1,0)x2y2设椭圆的方程：2+2=1(ab0) aby2=-4x解方程组 得C，D x=-1由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，22|FC|CD|1) 2分=22，|F1A|=， A(1,22|F1A|AB|11222a-b=c=1，又+=122a2b11因此，2+2=1，解得b2=1并推
5、得a2=2 b+12bx2+y2=1 4分故椭圆的方程为2a=2,b=1,c=1， 圆过点O、F1，圆心M在直线x=-设M(-1上21,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，2123.22r=(-)-(-2)=由OM=r,得(-)+t=1223,解得t=2. 219所求圆的方程为(x+)2+(y2)2=.8分 24 由点F1(-1,0),F2(1,0) 若AB垂直于x轴，则A(-1,22),B(-1,-)， 22 F2A=(-2,22),F2B=(-2,-)， 22 F2AF2B=4-17=9分 22若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为 y=k(x+1) 由y=k(
6、x+1)22x+2y-2=0 得 (1+2k)x+4kx+2(k-1)=0 2222QD=8k2+80，方程有两个不等的实数根 设A(x1,y1)，B(x2,y2).来源:学。科。网4k22(k2-1)x1+x2=-, x1x2=11分 1+2k21+2k2F2A=(x1-1,y1),F2B=(x2-1,y2) F2AF2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1) =(1+k)x1x2+(k-1)(x1+x2)+1+k 2222(k2-1)4k222+(k-1)(-)+1+k =(1+k) 221+2k1+2k27k2-179 = =-222
7、2(1+2k)1+2kk20,1+2k21,02, 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. a=2, c=1. b2=a2-c2=1.2x W: +y2=1 (y0). 2来源:学科网(2) 设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程，得x+(kx+2)2=1. 2 整理，得(1+k2)x2+22kx+1=0. 2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 D=8k2-4(1+k2)=4k2-20，解得k2. 2222设P,Q(x2,y2),则OP+OQ求椭圆W的方程； 求证：CF=lFB (lR)； 求DMBC面积S的最大值. x2y2解：设椭圆
8、W的方程为2+2=1，由题意可知 abc6=,a3222a=b+c,解得a=6，c=2，b=2， 2a2=6,cyABMFCOxx2y2+=14分 所以椭圆W的方程为62a2=-3，所以点M坐标为(-3,0).于是可设直线l 解法1：因为左准线方程为x=-c的方程为y=k(x+3) y=k(x+3),22222得(1+3k)x+18kx+27k-6=0. xy2=1+26由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知 D=(18k2)2-4(1+3k2)(27k2-6)0，解得k20，得-255k 55当-55k时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)， 55x1+x2
9、50k225k2,x0=2则x1+x2= 225k+45k+425k2-20ky0=k(x0-5)=k(2-5)=2. 5k+45k+4又|F2C|=|F2D|F2RlkkF2R=-1 kkF2R20k)220k25k+4=k=-1 2225k4-20k1-25k+40-(-22220k=20k4，而20k=20k4不成立， 所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 小结归纳 1在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效 2由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法步骤是：定型确定曲线形状；定位确定焦点位置；定量由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏 3解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是a-c,a+c 4“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会 5解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视 2
