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1、椭圆知识点总结圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数2a(F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 。 2标准方程： c2=a2-b2 x2y2焦点在x轴上：2+2=1； 焦点F aby2x2焦点在y轴上：2+2=1； 焦点F ab注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上； x2y2=1 或者 mx2+ny2=1 两种标准方程可用一般形式表示：+mn二椭圆的简单几何性质： 1.范
2、围 x2y2 椭圆2+2=1 横坐标-axa ,纵坐标-bxb aby2x2 椭圆2+2=1 横坐标-bxb,纵坐标-axa ab 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 椭圆的顶点：A1，A2，B1，B2 线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭1 圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 我们把椭圆的焦距与长轴长的比22cc，即称为椭圆的离心率， 2aac2b2e=1- 记作e，2aa e=0是圆； e越接近于0 ，椭圆就越接近于圆; e越接近于1 ，椭圆越扁；
3、 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 椭圆的第二定义：平面内与一个定点和一定直线的距离的比为常数e，的点的轨迹为椭圆。 d2axy焦点在x轴上：2+2=1准线方程：x= cabay2x2焦点在y轴上：2+2=1准线方程：y= cab2小结一：基本元素 基本量：a、b、c、e、， 特征三角形 基本点：顶点、焦点、中心 基本线：对称轴 5椭圆的的内外部 22xy00x2y2+b0)的内部22abab点P(x0,y0)在椭圆6.几何性质 xy+a2b22222x0y0=1(ab0)的外部2+21. ab 最大角(F1PF2)max=F1B2F2, 最大距离，最小距离 例题
4、讲解： 2 一.椭圆定义： 方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10化简的结果是 2若DABC的两个顶点A(-4,0),B(4,0)，DABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是 x2y23.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 169二利用标准方程确定参数 x2y21.若方程+=1表示圆，则实数k的取值是 . 5-kk-3表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 表示椭圆，则实数k的取值范围是 . 2.椭圆4x2+25y2=100的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是
5、 ，离心率等于 , x2y2=1的焦距为2，则m= 。 3椭圆+4m4椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2)，那么k= 。 三待定系数法求椭圆标准方程 1若椭圆经过点(-4,0)，(0,-3)，则该椭圆的标准方程为 。 2焦点在坐标轴上，且a2=13，c2=12的椭圆的标准方程为 3焦点在x轴上，a:b=2:1，c=6椭圆的标准方程为 4. 已知三点P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程； 变式：求与椭圆4x2+9y2=36共焦点，且过点(3,-2)的椭圆方程。 3 四焦点三角形 x2y2=1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则DABF2的周长是 。 1
6、椭圆+9252设F1，F2为椭圆16x2+25y2=400的焦点，P为椭圆上的任一点，则DPF1F2的周长是多少？DPF1F2的面积的最大值是多少？ x2y2=1上的一点，F1,F2是焦点，若F1PF2是直角，则DF1PF2的面积3设点P是椭圆+2516为 。 变式：已知椭圆9x2+16y2=144，焦点为F1、F2，P是椭圆上一点 若F1PF2=60， 求DPF1F2的面积 五离心率的有关问题 1x2y2=1的离心率为，则m= 1.椭圆+24m2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率e为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆
7、的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 5.在ABC中，A=300,|AB|=2,SDABC=3若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= 最值问题： x2+y2=1两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，最小1.椭圆4值为_ x2y2+=1两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_，2、椭圆2516最小值为 _ 4 x23、已知椭圆+y2=1，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小4值 。 y2x24.设F是椭圆=1的右焦点,
8、定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最2432小,求P点坐标 最小值 . 同步测试 1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 x2y2-=1左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则DCDF1的周长为_ 2、椭圆169x2y2+=1表示椭圆，则k的取值范围是( ) 3已知方程1+k1-k A -1k0 C k0 D k1或kb0)的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。 ab若F1PF2=60，则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形ABCD，则以A、B为
9、焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _. x2y2+=1，P点是椭圆上的点且F1PF2=60,求DPF1F2的面积 8已知椭圆的方程为439.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 x2y2+=1上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是 10.椭圆10036x2y2=1(a5)的两个焦点为F1、F2，且F1F2=8，弦AB过点F1，则ABF2的周11已知椭圆2+25a长 5 x2y212.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍 25913、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为
10、x=4,那么这个椭圆的方程为 。 14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=_. 15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为y=18,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 _. 16.已知P是椭圆9x2+25y2=900上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_. x2y2517椭圆+=1内有两点A(2,2)，B(3,0)，P为椭圆上一点，若使PA+PB最小，则最小值为 25163y2y2x2x218、椭圆=1与椭圆=l(l0)有 3223 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 y2x2y2x219、椭圆+=1与+=1的关系为 2599-l25-l (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 x2y220、椭圆+=1上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为 62x2y221.点P为椭圆+=1上的动点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,则PF1PF2的最小值为_ ,2516此时点P的坐标为_. 6
