概率答案第二章.docx

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1、概率答案第二章习题2-2 1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0p1). 定义随机变量 X=1,A发生,0,A不发生. 写出随机变量X的分布律. 解 PX=1=p, PX=0=1-p. 或者 X 0 1 P 1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为1352c,4c,8c,716c. 试确定常数c, 并计算条件概率PX1|X0. 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 12c+34c+58c+716c=1, 所以c=3716. 所求概率为PX1| X 10=PX=-12c8PX0=157=. 2c+8c+2516c3. 设随机变量X服从

2、参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若PX1=59, 求PY1. 解 注意px=k=Ckpkqn-kn,由题设59=PX1=1-PX=0=1-q2, 故q=1-p=23. 从而 PY1=1-PY=0=1-(2193)3=27. 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是1927，那么一次都没有成功的概率是827. 即(1-p)3=8127, 故 p=3. 5. 若X服从参数为l的泊松分布, 且PX=1=PX=3, 求参数l.

3、解 由泊松分布的分布律可知l=6. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律. 解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有C35=10种取法. X=3表示取出的3个数以3为最大值，X=3=C2P21C3=; 510X=4表示取出的3个数以4为最大值，C2PX=4=33C3=; 510X=5表示取出的3个数以5为最大值，PX=5=C243C3=. 55X的分布律是 X 3 4 5 110 3P 10 35 习题2-3 1. 设X的分布律

4、为 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F(x), 并计算概率PX0, PX2, P-2X1. 0,x-1,解 (1) F(x)=0.15,-1x0,0.35,0x1, 1,x1. (2) PX0=PX=-1=0.15; (3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P-2x1=PX=-1+PX =0=0.35. 2. 设随机变量X的分布函数为 F(x) = A+Barctanx -x+. 试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1内的概率. 解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知 易见, 在X的值属于(-1,1)

5、的条件下, 事件-1Xx的条件概率为 P-1Xx|-1X1=kx-(-1), 取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=因pA+B(-)=0112A=,B=. 2pA+B(p)=12于1. 2此 F(x)=11+arctanx,-x+. 2p(2) P-1X1=F(1)-F(-1) 是 P - 1 X x|-1X1=x+1. 2于是, 对于-1x1, 有 P-1Xx=P-1Xx,-1X1 5x+15x+5=. 8216对于x1, 有F(x)=1. 从而 1111=(+arctan1)-(+arctan(-1) 2p2p=P-1X1P-1Xx|-1=11p11p1+-(-)=. 2p42p423

6、. 设随机变量X的分布函数为 0, x0,xF(x)=, 0x1, 21,x1,求PX-1, P0.3 X0.7, P0X2. 解 PX-1=F(-1)=0, P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P0X2=F(2)-F(0)=1. 5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; 11PX=-1=,PX=1=; 在事件84-1X出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X的分布函数F(x)=PXx; (2) 求X取负值的概率p. 解 (1) 由条件可知, 当x-1时, F(x)=0; 当x=-1时, F(-1)=所0,5x

7、+7F(x)=,161,x-1,-1x1, x1.(2) X取负值的概率 p=PX0=F(0)-PX=0=F(0)-F(0)-F(0-习题2-4 1. 选择题 2x, x0,c,(1) 设f(x)= 如果c=( ), 0, x0,c.则f(x)是某一随机变量的概率密度函数. (A) (D) 11. (B) . (C) 1. 323. 2解 由概率密度函数的性质+-f(x)dx=1可1PX=cPX, 则cc等于( ). 以 1115(A) 1. (B) 0. (C) . P-1X1=F(1)-F(-1)-PX=1=1-=.28488当x=1时, F(1)=PX1=P(S)=1. ; 得c02xd

8、x=1, 于是c=1, 故本题应选(C ). c满足(2) 设XN(0,1),又常数(D) -1. 解 因为PXc=PXc, 所以1-PXc=PXc,即 2PXc=1, 从而PXc=0.5,即F(c)=0.5, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). cosx,x0,p,(A) f(x)= (B) F(-a)=2F(a)-1. 解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布2N(m1,s12),Y服从正态分布N(m2,s2),且PX-m1PY-m21, 则下式中成立的是( ). (A) 1 2.

9、 (C) 1 2. 0,其它.f(x)=12,x2, 0,其它.(x-m)21-e2s2(C) f(x)=2ps,x0, (D) 0,x0.e-xf(x)=,x0,0,x0. 解 由概率密度函数的性质+-f(x)dx=1可知本题应选(D). (4) 设随机变量XN(m,42), YN(m,52), P1=PXm-4, P2=PYm+5, 则( ). (A) 对任意的实数m,P1=P2. (B) 对任意的实数m,P1P2. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数m, 有 P1=F(-1)=1-F(1)=P2. 因此本题应选(A). (5) 设随机变量X的概率密度为f(x), 且f(x)=f(-

10、x), 又F(x)为分布函数, 则对任意实数a, 有( ). (A) F(-a)=1-a0f(x)dx. (B) F(-a)=12-a0f(x)dx. (C) F(-a)=F(a). (D) (D) 1 2. 解 答案是(A). (7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数a(0aua=a, 若PXx=a, 则x等于( ). (A) ua . (B) u (C) 21-a . 2u1-a. (D) u1-a. 2解 答案是(C). 2. 设连续型随机变量X服从参数为l的指数分布, 要使PkX0,0, x0. 由题意可知 14=PkX2k=F(2k)-F(k)=(1-e-2kl)

11、-(1-e-lk)=. 于是 k=ln2l. 3. 设随机变量X有概率密度 f(x)=4x3,0x1,0,其它, 要使PXa=PX0)成立, 应当怎样选择数a? 解 由条件变形,得到1-PXa=P,可知XPXa2时, F(x)=1. 求: (1) X的概率密度; (2)P0.3X0.7. 所解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系x0,0,F(x)=f(x), 1可得 x 2 , 0x1,0,F(x)=x2,1,x1,当101xx12时, F(x)=xdx+(2-x)dx=2x-x22-1; 以 2x,0x1, f(x)=0,其它.(2) F(x)=2P0.3X2.7. 设随机变量X的概率密度

12、为 1(x+1),0x2, f(x)=40,其它,对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 根据概率密度与分布函数的关系式 PaXb=F(b)-F(a)=f(x)dx, ab2x2x-1,21,1x2,可得 1P1=21(x+1)dx=5. 0x1,x,f(x)=A-x,1x2, 0,其它.求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x). 解 (1) 由概率密度的性质可得 4x2+4Xx+2=有实根的概率0. 解 随机变量X的概率密度为 1,0x5,f(x)=5 其它,0,1=xdx+(A-x)dx=0112121x20+Ax-122x21, 于是 A=2； (2) 由公式

13、F(x)=若方程有实根, 则 16X-320, 于是X2. =A-1故方程有实根的概率为 22PX2=1-PX2 22=1-P-2X2x-f(x)dx可得 12当x0时, F(x)=0; 当0x1时, F(x)=xdx=0x=1-x2; 2015. dx =1-259. 设随机变量XN(3,22). (1) 计算P2X5, P-4X10, 0.3=P0X4=P0-2s, X-2s2, PX3； (2) 确定c使得PXc=PXc; 0.9, 问d至多为多(3) 设d满足PXd22于是2F-1=0.3, 从而F=0.65. ss所以 少？ 解 (1) 由Paxb=Pa-32X-32b-32=(b-

14、32)-(a-32)公式, 得到 P2X5=(1)-(-0.5)=0.5328, P-42=PX2+PX3=1PX3=1-(3-32)=1-(0)=0.5 . (2) 若PXc=PXc,得1-PXc=Pxc,所以 PXc=0.5 由(0)=0推得c-32=0,于是c=3. (3) PXd0.9 即1-(d-32)0.9, 也就是 (-d-32)0.9=(1.282), 因分布函数是一个不减函数, 故-(d-3)21.282, 解得 d3+2(-1.282)=0.436. 10. 设随机变量XN(2,s2), 若P0X4=0.3, 求PX0. 解因为XN(,s22)所,以Z=X-msN(. 0由

15、条件,1)P0X4=0.3可知 PX0=PX-2s0-2s=F(-22s)=1-F(s)=0.35. 习题2-5 1. 选择题 (1) 设X的分布函数为F(x), 则Y=3X+1的分布函数G(y)为( ). (A) F(1y-133). (B) F(3y+1). (C) 3F(y)+1. (D) 13F(y)-13. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设XN(0,1),令Y=-X-2, 则Y( ). (A)N(-2,-1). (B)N(0,1). (C)N(-2,1). (D)N(2,1). 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C). 2. 设XN(1,2),Z=2X

16、+3, 求Z所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量XN(m,s2), 则X的线性函数Y=aX+b也服从正态分布, 即Y=aX+bN(am+b,(as)2). 这里m=1s=, 所以Z2N(5,8). 概率密度为 f ( z) =1 4 pe-(x-5)216,-x+. 3. 已知随机变量X的分布律为 X -1 0 1 3 7 P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25 (1) 求Y2X的分布律； (2) 求Y3X2分布律. 解 (1) 2X -5 -1 1 2 3 P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 3X2 3 4 12 52 P 0.05 0.57 0.13

17、 0.25 4. 已知随机变量X的概率密度为 1f2xln2，1x4，X(x) 0，其它，且Y2X, 试求Y的概率密度. 解 先求Y的分布函数FY(y): FY(y)=PYy=P2-Xy=PX2-y =1-PX2-y=1-2-y-fX(x)dx. 于是可得Y的概率密度为 fY(y)=-fX(2-y)(2-y)=12(2-y)ln2,12-y4, 0,其它.即 1f(y)=2(2-y)ln2,-2y1,Y 0,其它. 5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量Y=X2的概率密度. 解 由题意可知随机变量X的概率密度为 f(x)=14,-2x2,X 0,其它.因为对于0y4,

18、 FY(y)=PYy=PX2y=P-yXy=FX(y)-FX(-y). 于是随机变量Y=X2的概率密度函数为 fY(y)=fX(y)12y+fX(-y)12y=14y,0y4.即 1f(y)=4y,0y4, 0,其它.总习题二 1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率. 解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知XB(5,0.2). (1) 恰好有3件次品的概率是PX=3=C350.230.82. (2) 至多有3件次品的概率是3Ck-k50.2k0.85. k=02. 一办公楼装有5个同类型的供

19、水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？ 解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则XB(5,0.1), PX=k=Ckk50.10.95-k,k=0,1,5. (1) 所求的概率是PX=2=C250.120.93=0.0729; (2) 所求的概率是PX1=1-(1-0.1)5=0.40951; (3) 所求的概率是 PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954; (4) 所求的概

20、率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856. 3. 设随机变量X的概率密度为 k-xf(x)=eq,x0, q0，x1=12, 求常数k, . 解 由概率密度的性质可知到k=1. +0kqedx=1得q-xln224. 某产品的某一质量指标XN(160,s2), 若要求P120X2000.8, 问允许s最大是多少? 解 由P120X2001由已知条件+1qeqdx=-x1, 得q=1. 120-160X-160200-160=P sss =F(40s)-(1-F(4040s)=2F(40s40)-10.8, 1.29, 由此可得允得到F(s)0.9, 查表得s许s最大值为31.2

21、0. 5. 设随机变量X的概率密度为 (x) = Ae-|x|, -x+. 试求: (1) 常数A; (2) P0X1; (3) X 的分布函数. 解 (1) 由于+-j(x)dx=Ae-|x|dx=1,即-+2Ae-xdx=1故2A = 1, 得到A=. 012所以 (x) = (2) =-x12P0X1 e-|x|. 110edx=(-e)=022(3) 因为F(x)=x-x111-e-120.316. 1-|x|-2edx, 得到 1xx1x当x0时, F(x)=edx=e, 2-2当x0时, 10x1x-x1F(x)=edx+edx=1-e-x, 2-202所以X的分布函数为 1xe,2F(x)=1-1e-x,2x0,x0.