概率统计知识点.docx

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1、概率统计知识点知识点 第一章 随机事件与概率 一、教学要求 1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算 2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算 4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算 5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率 本章重点：随机事件的概率计算 二、知识要点 1随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；

2、(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用W表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作W=e 2随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作W)与不可能事件(记作f) 看作特殊的随机事件 3*事件的关系及运算 (1) 包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作AB(或BA) (2) 相等：若两事件A与B相互包含，即AB且BA，那么，

3、称事件A与B相等，记作A=B (3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记1,作AB；“n个事件AA2,L,An中至少有一事件发生”这一事件称为A1,A2,L,An的和，记作A1A2LAn (4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作AB(简1,记为AB)；“n个事件AA2,L,An同时发生”这一事件称为A1,nA2,L,An的积IAALAAALA12n12n事件，记作法则：对任意事件A和B有 AB=AB, AB=AB. 4频率与概率的定义 (1) 频率的定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则比值nAn称为随机事件A

4、发生的频率，记作fn(A)，即 fn(A)=nAn. (2) 概率的统计定义 在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率fn(A)在一个稳定的值p(0p1)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值p为概率，即P(A)=p (3) *古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： (i) 试验的样本空间W是个有限集，不妨记作W=e1,e2,L,en; (ii) 在每次试验中，每个样本点ei(i=1,2,L,n）出现的概率相同，即 P(e1)=P(e2)=L=P(en) 在古典概型中，规定事件A的概率为 P(A)= (4) 几何概率的定义 A

5、中所含样本点的个数nA=W中所含样本点的个数n 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为 P(A)= (5) 概率的公理化定义 A的长度样本空间的的长度 设随机试验的样本空间为W，随机事件A是W的子集，P(A)是实值函数，若满足下列三条公理： 公理1 (非负性) 对于任一随机事件，有P(A)0； 公理2 (规范性) 对于必然事件W，有P(W)=1； 1,A2,L,An,L，有 公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件AP(UAi)=P(Ai)i=1i=1， 则称P(A)为随机事件的概率 5

6、*概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) P(f)=0 1,A2,L,An两两互不相容，则有 (2) (有限可加性) 设n个事件AP(A1A2LAn)=P(Ai)i=1n (3) 对于任意一个事件A： P(A)=1-P(A) (4) 若事件A，B满足AB，则有 P(B-A)=P(B)-P(A), P(A)P(B) (5) 对于任意一个事件A，有P(A)1 (6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). 1,A2,L,An，有 对于任意n个事件AP(UA-i)=P(Ai)i=1i=1nn1ijnP(iAjA+)1ij0，规

7、定 P(A|B)=P(AB)P(B). 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质 乘法公式：对于任意两个事件A与B，当P(A)0,P(B)0时，有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). 7*随机事件的相互独立性 如果事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B)， 那么，称事件A与B相互独立 关于事件A，月的独立性有下列两条性质： (1) 如果P(A)0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)；如果P(B)0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A) 这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响” (2) 下列四个命题是等价的

8、： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与B相互独立； (iii) 事件A与B相互独立； (iv) 事件A与B相互独立 1,A2,L,An相互独立性定义如下：对任意一个k=2,L,n，任意的 对于任意n个事件A1i1Likn，若事件A1,A2,L,An总满足 P(Ai1LAik)=P(Ai1)LP(Aik)， n1,A2,L,An相互独立这里实际上包含了2-n-1个等式 则称事件A 8*贝努里概型与二项概率 设在每次试验中，随机事件发生的概率P(A)=p(0p0，P(Ak|B)=P(Ak)P(B|Ak)P(A)P(B|A)iii=1n,k=1,2,L,n 第二章 离散型随机变量及其分

9、布 一、教学要求 1理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用 理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率 理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4掌握离散型随机变量独立的条件 5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布 本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算 二、知识要点 1一维随机变量 若对于随机试验的样本空间W中的每个试验结果e，变量X都有一个确定的实数值与e相对应，即X=X(e)，则称X是一个一维随机变量 概率论主要研究

10、随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布 2*离散型随机变量及其概率函数 如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量 设离散型随机变量X的可能取值为ai(i=1,2,L,n,L)， pi=P(X=ai),i=1,2,L,n,L. 若pi=1i=1，则称pi(i=1,2,L,n,L)离散型随机变量X的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示： X a1a2LanL p1p2LpnL Pr *概率函数的性质 (1) pi0， i=1,2,L,n,L; (2) pi=1i=1 由已知的概率函数可以算得概率 P(XS)=piaiS， 其中，S是实数轴上的一个集合

11、*常用离散型随机变量的分布 (1) 01分布B(1,p)，它的概率函数为 P(X=i)=pi(1-p)1-i， 其中，i=0或1，0p1 (2) 二项分布B(n,p)，它的概率函数为 nP(X=i)=pi(1-p)n-ii， 其中，i=0,1,2,L,n，0p0 () 均匀分布，它的概率函数为 lii!e-l， 其中，i=0,1,2,L,n 二维随机变量 P(X=ai)=1n， 若对于试验的样本空间W中的每个试验结果e，有序变量(X,Y)都有确定的一对实数值与e相对应，即X=X(e)， Y=Y(e)，则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量 6*二维离散型随机变量及联合概率函数 如果二维随机

12、变量(X,Y)仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(X,Y)为二维离散型随机变量 二维离散型随机变量(X,Y)的分布可用下列联合概率函数来表示： P(X=ai,Y=bj)=pij,i,j=1,2,L, 其中，pij0,i,j=1,2,L,pijij=1 7二维离散型随机变量的边缘概率函数 设(X,Y)为二维离散型随机变量，pij为其联合概率函数，称概率P(X=ai)(i=1,2,L)为随机变量X的边缘概率函数，记为pig并有 pi.=P(X=ai)=pij,i=1,2,Lj， 称概率P(Y=bj)(j=1,2,L)为随机变量Y的边缘概率函数，记为p.j，并有 p.j=P(Y=bj)=pij,

13、j=1,2,Li. 8随机变量的相互独立性 设(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为 pij=pigpgj,对一切i,j=1,2,L. 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论 9随机变量函数的分布 设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布 设离散型随机变量X的概率函数为 X a1a2LanL p1p2LpnL Pr 则随机变量函数Y=g(X)的概率函数可由下表求得 Y=g(X) g(a1)g(a2)Lg(an)L Pr p1

14、 p2 L pn 但要注意，若g(ai)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率pi相加 第三章 连续型随机变量及其分布 一、教学要求 1理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用 2理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率 3理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件 5掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义 (不考)6会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会

15、求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布 (不考)会求简单随机变量函数的概率分布 本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算 二、知识要点 1*分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X取值不大于实数x的概率P(Xx)称为随机变量X的分布函数，记作F(x), 即 F(x)=P(Xx),-x 2分布函数F(x)的性质 (1) 0F(x)1; () F(x)是非减函数，即当x1x2时，有F(x1)F(x2)； F(x)=0,limF(x)=1lim (3) ; x-x+F(x)=F(a)limF(x) (4) 是右连续函数，即xa

16、+0 由已知随机变量X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b内的概率 P(aXb)=F(b)-F(a); 也可以求得 P(X=a)=F(a)-F(a-0) 3联合分布函数 二维随机变量(X,Y)的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于x实数的概率，同时随机变量Y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为F(x,y)，即 F(x,y)=P(Xx,Yy),-x+,-y+ 4联合分布函数的性质 (1) 0F(x,y)1； (2) F(x,y)是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数； (3) limF(x,y)=0,limF(x,y)=0x-y-， limF(x,y)=0,limF(x

17、,y)=1x-y-x+y+； (4) F(x,y)是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数； (5) P(x1Xx2,y1Yy2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) 5*连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负函数f(x)，使得对于任一实数x，有 F(x)=f(x)dx-x成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度 6*概率密度f(x)及连续型随机变量的性质 f(x)0; +-f(x)dx=1； 连续型随机变量X的分布函数为F(x)是连续函数，且在F(x)的连续点处有F(x)=f(x)

18、； 设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c，P(X=c)=0； (5) 设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则有 P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb) baf(x)dx 7*常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布R(a,b)，它的概率密度为 1,axb;f(x)=b-a其余. 0,其中，-ab0;f(x)=其余. 0,其中，l0 (3) 正态分布N(m,s)，它的概率密度为 2f(x)=1e2ps-(x-m)22s2,-x+， 其中，-m0，当m=0,s=1时，称N(0,1)为标准正态分布，它的概率密度为 1-x2f(x)=e,-x+2p， 标准正态分布的分布函数

19、记作F(x)，即 2F(x)F(x)=x-1-t2edt2p， 2 当出x0时，F(x)可查表得到；当x0时，F(x)可由下面性质得到 F(-x)=1-F(x) 设XN(m,s)，则有 2x-mF(x)=Fs； P(aXb)=F(b-ms)-F(a-ms) *二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x,y)，如果存在一个二元非负函数f(x,y)，使得对于任意一对实数(x,y)有 F(x,y)=x-yf(s,t)dtds成立，则(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) f(x,

20、y)0,-x,ym0 x-m0ua2则拒绝sn，否则只能接受. X-m0Pua=a构造水平检验的拒绝域Uua单侧分位数 snH0：m=m0；H1：mm0 X-m0P-ua=a构造水平检验的拒绝域Um0 X-m0Pta(n-1)=a构造水平SnH0：m=m0；H1：mta(n-1)单侧分位数 X-m0P-ta(n-1)=a构造水平Snc2检验。检验的拒绝域T-ta(n-1)单侧分位数 的检验 当m未知时，单正态总体方差 (1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设m未知，检验 22H0:s2=s0;H1:s2s0; 其中m未知。 (2) 基于的估计，提出检验统计量c=2(n-1)S22s0c2

21、(n-1) (3) 对给定水平，Pc2c2a(n-1)=1-2a2a2,Pcca(n-1)=构造水平检验的2222拒绝域c2ca)或c2c12-a2(n-1) 2(n-12其中c12(n-1),c-a2a2(n-1)为标准正态分布的a双侧分位点。 222(4) 基于数据，算出c2的观察值，如c2ca(n-1)或cc)则拒绝21-a2(n-1，否则只能接受. 因此检验使用统计量c2，称之为c2-检验。 学习要点 1本章内容涉及概念及方法两大部分，要求理解和掌握假设检验的一些基本概念，如两类错误概率，否定论证原理，显著水平，弄清显著水平2掌握单正态总体检验的基本方法。 第八章 检验的确切含义。 方

22、差分析 检验假设H0:m1=m2=.=mr 找到F统计量 单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 组间 组内 总和 均方和 MSA=SSAdfAF 值 F 值临介值 SSAdfAdfEdfTF=MSAMSEFa(r-1,n-r)SSESSTMSE=SSEdfE简便计算公式： rnirTi2T2Ti22 SSSSA=-SS,T=SSA+SSE E=Xij-ni=1nii=1j=1i=1nirTi=Xij,T=Tij=1i=1nirdfA=r-1,dfE=n-r,dfT=n-1 第九章 1.回归函数或回归方程的建立y =b0回归分析 +b1xLxyb1=Lxx b=y-bx101n1nx=

23、xi, y=yini=1ni=1Lxy=(xi-x)(yi-y)=xiyi-nx*yi=1ni=1nnLxx=(xi-x)2=xi2-nx2i=1ni=1nnLyy=(yi-y)=yi2-ny22i=1i=12.回归方程的有效性检验F检验法 检验假设H0: b1一元回归分析表 =0, H1: b10, 找到F统计量 方差来源 平方和 自由度 回归 剩余 总和 均方和 MSR=SSRdfRF 值 F 值临介值 SSRdfR=1F=MSRMSEFa(1,n-2)SSESSTdfEdfTMSE=SSEdfE简便计算公式： SSR=b1Lxy SSE=Lyy-b1Lxy, SST=SSA+SSE=Lyy dfR=1,dfE=n-2,dfT=n-13回归方程的点预测=a+bx0即为 y 的点预测值。x=x0,y