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1、概率公式总结概率分配率一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 交换律 结合律 分配律 德摩根律 2、概率的定义及其计算 公式名称 求逆公式 加法公式 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 表达式 A+B=B+A AB=BA (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C (AB)C=A(BC)=ABC A(BC)=ABAC A+(BC)=(A+B)(A+C) A+B=AB AB=A+B 公式表达式 P(A)=1-P(A) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(BA)=P(AB) P(A)P(AB)=P(A)P(BA) P(AB)=P(B)P(AB) P(B)=P(A)P(B
2、A) iii=1n贝叶斯公式 伯努力概型公式 两件事件相互独立相应公式 P(AjB)=P(Aj)P(BAj)P(A)P(BA)jii=1kkPn(k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Ln P(AB)=P(A)P(B)；P(BA)=P(B)；P(BA)=P(BA)；P(BA)+P(BA)=1；P(BA)+P(BA)=1 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 P(Xb)=F(b) P(aXb)=F(b)-F(a) 2、散型随机变量 分布名称 01分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(l) 几何分布G(p) 分布律 P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 kkP(X=k
3、)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,L,n P(X=k)=e-llkk!,k=0,1,2,L P(X=k)=(1-p)k-1p,k=0,1,2,L 1 超几何分布H(N,M,n) 3、续型随机变量 分布名称 均匀分布U(a,b) P(X=k)=kn-kCMCN-MnCN,k=l,l+1,L,min(n,M) 密度函数 分布函数 0,xax-aF(x)=,axb b-a1,xb1b-a,ax0 f(x)=其他0,指数分布E(l) x00,F(x)= -lx1-e,x012ps1正态分布N(m,s2) f(x)=12ps12pe-(x-m)22s2-x+ F(x)=x-e-(t-m)22s2d
4、t 标准正态分布N(0,1) j(x)=e-x22-x+ F(x)=2psx-e-(t-m)22s2dt 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 pi=P(X=xi)=P(X=x,Y=y)=pijjjijpj=P(Y=yj)=iP(X=xi,Y=yj)=piij2、离散型二维随机变量条件分布 pij=P(X=xiY=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijPjpijPi,i=1,2L pji=P(Y=yjX=xi)=,j=1,2L 3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数F(x,y)=x+xy-f(u,v)dvdu
5、4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：FX(x)= FY(y)=y-+f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)=f(u,v)dudv fY(y)=+-f(x,v)dv f(u,y)du +-5、二维随机变量的条件分布 fYX(yx)=f(x,y)f(x,y),-y+ fXY(xy)=,-x+ fX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征 1、数学期望 离散型随机变量：E(X)=2、数学期望的性质 (1)E(C)=C,C为常数 EE(X)=E(X) E(CX)=CE(X) (2)E(XY)=E(X)E(Y) E(aXb)=aE(X)b E(C1X1+LCnXn)=C1E(X
6、1)+LCnE(Xn) 2 k=1+xkpk 连续型随机变量：E(X)=+-xf(x)dx (3)若XY相互独立则：E(XY)=E(X)E(Y) (4)E(XY)2E2(X)E2(Y) 3、方差：D(X)=E(X2)-E2(X) 4、方差的性质 (1)D(C)=0 DD(X)=0 D(aXb)=a2D(X) D(X)0有PX-E(X)xnD(X)x2D或PX-E(X)0的独立同分布时，当n充分大时有： XYn=k=1nk-nmN(0,1) ns(2)拉普拉斯定理：随机变量hn(n=1,2L)B(n,p)则对任意x有： limPhn-npnp(1-p)x+x=x12p-e-t22dt=F(x)
7、n(3)近似计算：P(ak=1nXkb)=P(a-nmnsXk=1k-nmb-nmnsns)F(b-nmns)-F(a-nmns) 六、数理统计 1、总体和样本 总体X的分布函数F(x)样本(X1,X2LXn)的联合分布为F(x1,x2Lxn)=F(xk) k=1n2、统计量 1(1)样本平均值：X=ni=1n1Xi (2)样本方差：S=n-121(Xi-X)=n-1i=12nni=1n(Xi2-nX) 2(3)样本标准差：S=1n-11(Xi-X) (4)样本k阶原点距：Ak=ni=12nXi=1ki,k=1,2L 1(5)样本k阶中心距：Bk=Mk=n(Xi=1ni-X)k,k=2,3L
8、(6)次序统计量：设样本(X1,X2LXn)的观察值(x1,x2Lxn)，将x1,x2Lxn按照由小到大的次序重新排列，得到x(1)x(2)Lx(n)，记取值为x(i)的样本分量为X(i)，则称X(1)X(2)LX(n)为样本(X1,X2LXn)的次序统计量。X(1)=min(X1,X2LXn)为最小次序统计量；X(n)=max(X1,X2LXn)为最大次序统计量。 3、三大抽样分布 22(1)c2分布：设随机变量X1,X2LXn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量c2=X12+X2+LXn所服从的分布称为自由度为n的c2分布，记为c2c2(n) 性质：Ec2(n)=n,Dc
9、2(n)=2n设Xc2(m),Yc2(n)且相互独立，则X+Yc2(m+n) 4 (2)t分布：设随机变量XN(0,1),Yc2(n)，且X与Y独立，则随机变量：T=的n的t分布，记为Tt(n) n,(n2)limt(n)=N(0,1)=nn-212p-(x-m)22s2XYn所服从的分布称为自由度性质：Et(n)=0,Dt(n)=e Un1所服从的分布称为自Vn2(3)F分布：设随机变量Uc2(n1),Vc2(n2)，且U与V独立，则随机变量F(n1,n2)=由度(n1,n2)的F分布，记为FF(n1,n2) 性质：设XF(m,n)，则1F(n,m) X七、参数估计 1、参数估计 (1) 定
10、义：用q(X1,X2,LXn)估计总体参数q，称q(X1,X2,LXn)为q的估计量，相应的q(X1,X2,LXn)为总体q的估计值。 (2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法： 1离散型样本均值：X=E(X)=n1离散型参数：E(X)=n2i=1nXi 连续型样本均值：X=E(X)=+-xf(x,q)dx Xi=1n2i3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法：X1,X2,LXn取自X的样本，设Xf(x,q)或P(X=Xi)=P(q)则可得到概率密度：f(x1,x2,Lxn,q)=f(x,q)或P(X=X,Xi1i=1nnn2,LXn=xn)=P(X=x)=P(q) iii=1i=1nn基本步骤： 似然函数：L(q)=nf(x,q)或P(q) iii=1i=1取对数：lnL=lnf(X,q) ii=1lnLlnL=0,L,=0最后得：q1=q1(x1,x2,Lxn),L,qk=qk(x1,x2,Lxn) 解方程：q1qk 5
