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1、概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 AB AB AB A-B A W f AB=f 2运算规则 AB=BA AB=BA (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) AB=AB AB=AB 3概率P(A)满足的三条公理及性质： 0P(A)1 P(W)=1 对互不相容的事件A1,A2,L,An，有P(UA)=P(A) kkk=1k=1nnP(f)=0 P(A)=1-P(A) P(A-B)=P(A)-P(AB)，若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)P(B) P(AB)=
2、P(A)+P(B)-P(AB) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率 定义：若P(B)0，则P(A|B)=P(AB) P(B) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) 若B1,B2,LBn为完备事件组，P(Bi)0，则有 全概率公式： P(A)=P(B)P(A|B) iii=1n Bayes公式： P(Bk|A)=P(Bk)P(A|Bk)P(B)P(A|B)iii=1n7事件的独立性： A, B独立P(AB)=P(A)P(B) 1 第二章 随机变量与概率分布 1 离散随机变量：
3、取有限或可列个值，P(X=xi)=pi满足pi0， 对任意DR，P(XD)=pii=1 i: xiDpi2 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足f(x)0, P(aXb)=3 几个常用随机变量 名称与记号 两点分布B(1,p) 二项式分布B(n,p) 分布列或密度 +-f(x)dx=1； ba对任意aR，P(X=a)=0 f(x)dx；数学期望 方差 P(X=1)=p，P(X=0)=q=1-p kkn-kP(X=k)=Cnpq,k=0,1,2,Ln， p np pq npq Poisson分布P(l) P(X=k)=e-llkk!,k=0,1,2,L l 1 pa+b 21l q 2p
4、(b-a)2 121 2l几何分布G(p) P(X=k)=qk-1p, k=1,2,L 均匀分布U(a,b) 1f(x)=, axb， b-a指数分布E(l) f(x)=le-lx, x0 l正态分布N(m,s) 2f(x)=12pse- (x-m)22s2m s2 4 分布函数 F(x)=P(Xx)，具有以下性质 F(-)=0, F(+)=1；单调非降；右连续； P(aa)=1-F(a)； F(x)= 对离散随机变量，2 i: xixpi； 对连续随机变量，F(x)=x-且在f(x)连续点上，F(x)=f(x) f(t)dt为连续函数，5 正态分布的概率计算 以F(x)记标准正态分布N(0,
5、1)的分布函数，则有 F(0)=0.5；F(-x)=1-F(x)；若XN(m,s2)，则F(x)=F(x-ms)； 以ua记标准正态分布N(0,1)的上侧a分位数，则P(Xua)=a=1-F(ua) 6 随机变量的函数 Y=g(X) 离散时，求Y的值，将相同的概率相加； X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y)=fX(g-1(y)|(g-1(y)|，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量 1 二维离散随机向量，联合分布列P(X=xi,Y=yj)=pij，边缘分布列P(X=xi)=pi，P(Y=yj)=pj有 pij0；pijijpi=pij，pj=p
6、ij =1；ji2 二维连续随机向量，联合密度f(x,y)，边缘密度fX(x), fY(y)，有 f(x,y)0； fX(x)=+-P(X,Y)G)=f(x,y)dxdy； f(x,y)=1；G+-f(x,y)dy，fY(y)=f(x,y)dx -+1, (x,y)G 3 二维均匀分布f(x,y)=m(G)，其中m(G)为G的面积 0, 其它4 二维正态分布(X, Y)N(m1,m2,s1,s2,r)，其密度函数22f(x,y)=12ps1s222(x-m1)(y-m2)(y-m2)2-1(x-m1)exp-2r+222ss2(1-r)ss1-r21212且XN(m1,s1), YN(m2,s
7、2)； 5 二维随机向量的分布函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)有 关于x,y单调非降；关于x,y右连续； F(x,-)=F(-,y)=F(-,-)=0； 2 3 F(+,+)=1，F(x,+)=FX(x)，F(+,y)=FY(y)； P(x1Xx2, y1Yy2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)； 2F(x,y) 对二维连续随机向量，f(x,y)= xy6随机变量的独立性 X,Y独立F(x,y)=FX(x)FY(y) 离散时 X,Y独立pij=pipj 连续时 X,Y独立f(x,y)=fX(x)fY(y) 22 二维正态分布X,Y独立r=0，且X+Y
8、N(m1+m2,s1+s2) 7随机变量的函数分布 和的分布 Z=X+Y的密度fZ(z)= 最大最小分布 第四章 随机变量的数字特征 1期望 (1) 离散时 E(X)=(2) 连续时E(X)=+-f(z-y,y)dy=f(x,z-x)dx -+xpii+-i，E(g(X)=g(x)pii+-i ； xf(x)dx，E(g(X)=g(x)f(x)dx； (3) 二维时E(g(X,Y)=g(xi,yj)pij，E(g(X,Y)=i,j+-g(x,y)f(x,y)dxdy (4)E(C)=C；E(CX)=CE(X)； E(X+Y)=E(X)+E(Y)； X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y) 2
9、方差 方差D(X)=E(X-E(X)=E(X)-(EX)，标准差s(X)=D(C)=0, D(X+C)=D(X)； D(CX)=CD(X)； X,Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 3协方差 4 2222D(X)； Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)； (X,Y)； Cov(X,Y)=Cov(Y,X), Cov(aX,bY)=abCovCov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)； Cov(X,Y)=0时，称X,Y不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价； D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 4相关系
10、数 rXY=Cov(X,Y)；有|rXY|1，|rXY|=1$a,b, P(Y=aX+b)=1 s(X)s(Y)5k 阶原点矩nk=E(Xk)，k 阶中心矩mk=E(X-E(X)k 第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev不等式 P|X-E(X)|e2大数定律 3中心极限定理 设随机变量X1,X2,L,Xn独立同分布E(Xi)=m, D(Xi)=s2，则D(X)e2 或P|X-E(X)|e1-D(X)e21ns22XiN(nm, ns)， 或XiN(m, ) 或近似近似ni=1ni=1nX -nmii=1nns近似N(0,1)， 设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=p，
11、则对任意x，有limPnm-npnpqx=F(x)或理解为若XB(n,p)，则XN(np,npq) 近似第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布； 样本数字特征： s21n 样本均值X=Xi； nni=11n 样本方差S=(Xi-X)2n-1i=12样本标准差S=1n(Xi-X)2 n-1i=1 5 1nk1n 样本k阶原点矩nk=Xi，样本k阶中心矩mk=(Xi-X)k ni=1ni=12统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布 c2分布 22其中X1,X2,L,Xn独立同分布于标c2=X12+X2+L+Xnc2(n)，准正态分布N(0,1)，
12、若X t分布 t=c2(n1), Yc2(n2)且独立，则X+Yc2(n1+n2)； XY/nt(n)，其中XN(0,1), Yc2(n)且独立； F分布 F=X/n1F(n1,n2)，其中Xc2(n1),Yc2(n2)且独立，有下面的Y/n2性质 11 F(n2,n1), F (n,n)=1-a12FFa(n2,n1)4正态总体的抽样分布 XN(m,s/n)； 21s2(Xi=1ni-m)2c2(n)； (n-1)S2s2c2(n-1)且与X独立； t=X-mS/nt(n-1)； 2(n1-1)S12+(n2-1)S2(X-Y)-(m1-m2)n1n22t= t(n1+n2-2)，Sw=n1
13、+n2-2Swn1+n2S12/s12F=2F(n1-1,n2-1) 2S2/s2第七章 参数估计 1矩估计： 根据参数个数求总体的矩；令总体的矩等于样本的矩；解方程求出矩估计 2极大似然估计： 写出极大似然函数；求对数极大似然函数求导数或偏导数；令导数或偏导数为0，解出极大似然估计直接求最大值，一般为minxi或maxxi） 3估计量的评选原则 )=q，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若E(q4参数的区间估计 参数 条件 估计函数 置信区间 6 s已知 m 2u=x-ms/nx-ms/nxmua2sn sns未知 2t=xmta(n-1)22 s2 m未知 c2=(n-1)ss2(n-1)s2(n-1)s22,2 ca(n-1)ca(n-1)21-2 7
