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1、概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二参考答案 1、将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所得点数之和，以X2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X1和X2的分布律。 解：X1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 111 P(X1=2)=P(1,1)= 663611112 P(X1=3)=P(1,22,1)=+= 6666361111113 P(X1=4)=P(1,32,23,1)=+= 66666636所以X1的分布律为 X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pk 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36
2、 2/36 1/36 X2可取的数有1、2、3、4、5、6 11P=P= 36所以X2的分布律为 X2 1 2 3 4 5 6 Pk 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X表示取出次品的只数，求X的分布律。 解：X可取0、1、2 37C8PX=0=3= C101512C2C7PX=1=38= C101521C2C1PX=2=38= C10153、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为p(0p0为常数， a=a=1， a=1 k=1NkN2b12PX=k=b=3=2b=1， b= 223k=1k=11-3PX=k=c
3、k=0k=0lkk!=cel=1， c=e-l 6、设随机变量X的分布律为PX=k= 其分布函数为F(x)，试求： k,k=1,2,3,4,5 155111X2， F PX， P22551211+= 解：PX=PX=1+PX=2=22151551X2=PX=1+PX=2= P11 F=PX=0 55121+= 151557、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻 恰有两个设备被使用的概率； 至少有1个设备被使用的概率； 至多有3个设备被使用的概率。 解：设X表示设备被使用的个数 则Xb(5,0.1) 2 PX=2=C5(0.1)(0.9)
4、=0.0729 23 pX1=1-PX=0=1-0.95=0.4095 4 pX3=1-PX=4-PX=5=1-C5(0.1)(0.9)-C55(0.1)=0.99954 4158、甲、乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从中挑4杯便能将甲种酒全部挑出，算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为:11= 4C870(2)令试验10次中成功次数为X，则Xb(10,3PX=3=C10(1)，7013697)3.1610-4显然X=3是一小概率事
5、 7070根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为3的泊松分布。问在月初进货时要 进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999? 解：设X表示当月销售量，则要使 e-33k=0.999 k!k=0xe-33k=0.0002921-0.999=0.001 查表得k!k=11+所以在月初进货时要进此种商品10件，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999。 10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。求一年中该地区受台风袭击次数为35的概率。 解：设X表示每年袭击某地的台风次数 P3X5=PX5-PX2
6、=1-PX6-(1-PX3) =(PX3)-PX6 e-44k- =k!k=3+e-44k=0.76189-0.21487=0.547027 k!k=6+所以一年中该地区受台风袭击次数为35的概率为0.547027 11、有10台机床，每台发生故障的概率为0.08, 而10台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。 解：随机变量X示发生故障的机床的台数则 XB(10,0.08) 设配备n个维修工人(0nnPXn=k=n+1C10k10(0.08)(0.92)k10-kk=n+1+lke-lk!(l=0.8)查表 n+1
7、=3,n=2时 PX2=0.04741=0.5510.05所以至少要配备2个维修工人 12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该时间内有3000辆汽车，问出事故的次数不小于2的概率为多少？ 解：设出事故的次数为X，所求为PX3 l=np=30000.0001=0.3 0.3ke-0.3=0.0036 PX3=k!k=3+所以出事故的次数不小于2的概率为0.0036 kk(1)设X服从二项分布，其分布律为PX=k=Cnp(1-p)n-k K=0，1，2，n，问K取何值时PX=k最大？ 设X服从泊松分布，其分布率为pX=k=问K
8、取何值时PX=k最大？ kkCnP(1-p)PX=k=k-1k-1 解：M= n-k+1PX=k-1CnP(1-P)n-klke-lk!，k=0，1，2 =(n-1+k)P=kqkq+(n-1+k)P-kqkq=1+(n+1)P-(p+q)k kqM1 M=1，此时PX=k=PX=k-1 M1 k(n+1)p时,(n+1)p-1,(n+1)p,若(n+1)p为整数所以当k= p，若p为非整数对于泊松分布P(l)，由 P(k;l)l=,k=2,3. P(k-1;l)k可知 当kl时，P(k-1;l)l时，P(k-1;l)P(k,l) 当k=l时，P(l,l)=P(l-1;l) 故可得：泊松分布的
9、通项P(k;l)当k由0变到l时，单调上升，并且在k=l时，达到最大值P(l;l)；当k超过l继续变动时，P(k;l)单调下降，即 l,l-1,若l为整数k=15、写出泊松分布和二项分布的分布函数16、设l,若l为非整数0连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=Ax21x00x1x1求 (1)常数A (2)概率密度函数 (3)PX3/2；P0X2。 解法一：由于连续型随机变量X的分布函数是连续的 0x01=F=limF(x)=limAx2=Af(x)=F(x)=x1x12x0x10x11/21/2PX1/2=-f(x)dx=2xdx=1/4或PX3/2=f(x)dx=3/230dx=0 或/2
10、PX3/2=1-PX3/2=1-F(3/2)=1-1=0 212P0X2=f(x)dx=2xdx+0dx=1或001P0X2=F(2)-F(0)=1-0=1 0x0解法二：f(x)=F(x)=2Ax0x1 0x1由1=+1-f(x)dx=02Axdx=AA=1其它同解法一 0x117、已知随机变量X的概率密度为: f(x)=x2-x1x2 0其它求 (1)分布函数F(X) (2) PX1.3,P0.2X1.2 解: (1) F(x)=PXx=x-f(x)dx 0x0xx0xdx=220x1=1xdx+x(2-x)dx=2x-2122)解法一PX1.3=1-F(1.3)=1-1.3221.3-2
11、-1=0。245 ( P0.2X1.3)=+1.3f(x)dx,PX0.5=0.5-f(x)dx,P0.2XC=1 2qe-qx,x0解：指数分布的密度函数为f(x)= 0,x0 PXc=1-PXc=1-=1-0c-00c-f(x)dx f(x)dx-f(x)dx c0=1-0dx-qe-qxdx=e-cq=-1 2c=ln2q19、某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下概率密度 1000,x1000f(x)=x2 其他0,现有一大批此种电子元件(是否损坏相互独立),从中任取5只,求至少取得2只其寿命大于1500小时的概率. 解；此相当于5重贝努利试验，用X表示寿命大于1500小时的只数 P
12、X1500=1-PX1500=1- =1-1000-1500-f(x)dx f(x)dx-15001000f(x)dx =1- =1000-0dx-1000dx 1000x215002 3则PX2=1-PX=0-PX=1 2 =1-C30502321121 -C5=33324351420、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布, 其概率密度为 1-x/5e f(x)=50x0其它某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开,现知他一个月要到银行5次,求他受到服务的次数不少于1的概率. 分析: 顾客一个月到银行5次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服务，所以相当于5重贝努
13、利试验 等待10分钟受到服务的事件记为A=X10 P(A)=PX10=10-f(x)dx=1001-x/5edx=1-e-2 5设顾客一个月内受到服务的次数为Y 要求的是PY1 Yb(5,1-e-2)PY1=1-PY=0=1-(e(-2)50.998 21、设XN(3,22)，求 (1).P2X5;P-42,PX3 (2)确定c使PXc=PXc. 5-32-31解：P2X5=F-F=F(1)-F- 222 =0.8413-1+0.6915=0.5328 10-3-4-3 P-42=PX2=PX2 -2-32-3 =F+1-F 22 =F(-2.5)+1-F(-0.5)=0.6977 3-3 P
14、X3=1-PX3=1-F=1-0.5=0.5 2 QPXc=PXc 1-PXc=PXc 1=2PXc 1=PXc 2c-3c-31即F=0c=3 = 222 22、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数m=10.05,s=0.06的正态分布。规定长度在10.050.12内为合格品。任取一螺栓，求其不合格的概率. 解：设螺栓的长度为X 10.05-0.12z0.01=0.01,即PXz0.01=1-0.01=0.99F(z0.01)=0.99查表得z0.01=2.33.同理得z0.003=2.7525、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数
15、,以Y表示取到红球的只数. (1)求X、Y的联合分布律 (2)求(X、Y)的边缘分布律 (3)X、Y是否相互独立 解： X p 0 1 2 3 1/35 12/35 18/35 4/35 (3)PX=1,Y=2=12/35,PX=2=18/35，PY=1=4/7 721284 =24535245所以X与Y不相互独立. 26、设随机变量的概率密度为 PX=2PY=1=ke-3x-4yf(x,y)=0,x0,y0其他求常数k；P0X1,0Y2;(3)分布函数。设随机变量的概率密度为 x2+xy/3,0x1,0y2，求pX+Y1。设二维随机变量f(x,y)=0,其他的概率密度为 e-y0xy，求边缘
16、概率密度。 f(x,y)=0,其他30、33、如右图，设二维随机变量(X、Y)的概率 密度为 3xf(x,y)=20+0x1,-xyx其它(1)求边缘概率密度 (2) X、Y是否相互独立. fX(x)=-f(x,y)dy 当0x1时fX(x)=f(x,y)dy=-x+x3xdy=3x2 -x2+x3x2fX(x)=0+-0x1其它 同理 fY(y)=f(x,y)dx当 -1y1时333(1-y2)2fY(y)=xdx=(1-y)fY(y)=4|y|24010x1其它92x(1-y2)(2)fX(x)fY(y)=400x1且-1y1其它 显然 fX(X)fY(Y)f(X,Y) X与Y不是相互独立
17、的. 32、设分布规律为 X Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b 问a、b取何值时，X，Y相互独立？ 解：先求边缘分布律即得： 12，b=时X与Y相互独立 9934、设X、Y是相互独立的随机变量，且都服从上的均匀分布。试求方a=程x2+Xx+Y=0有实根的概率. 分析: x2+Xx+Y=0有实根X2-4Y20 所以,所求为PX2-4Y20 这样,该题可看作二维随机变量 (X、Y)的概率计算,先求(X、Y)的联合概率密度. 由已知 1fY(y)=00y1其它1fX(x)=00x1其它X与Y相互独立 1f(x,y)=fX(x)fY(y)=0G0x1且0y0 fY(y)
18、= 2y=00(1)求X和Y的联合概率密度； 求关于s的二次方程s2+2Xs+Y=0有实根的概率。 解：XU(0,1) 1,0x1 fX(x)= 0,其它 QX、Y相互独立 X、Y的联合概率密度为： y1-2，0x0 =fX(x)fY(y)=2e f0,其它当D=4(X2-Y)0时，方程有实根 P4X2-Y0=PX2Y (10)Y=dXX201-2edY=0.1445 238、设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为 fX(x)=le-lxx0x0y0,m0,为常数。引入随机变量Z=条件概率密度 求Z的分布规律。 1,0,XYXY解：解法一 QX、Y相互独立 le-lx,x0fXY(xy)=
19、fX(x)= 0,x0le-lx,x0f(x,y)fX(x)fY(y)独立 =fX(x)=解法二 fXY(xy)= fY(y)fY(y)0,x0PZ=0=PXY， PZ=1=PXY lme-(lx+my),x0,y0 Qf(x,y)= 0,PXY=+0dxlme-(lx+my)dy 0x=+0l(1-e-mx)e-lxdx=mm+l又PXY=1-PXY=分布律为 Z P lm+l0 1 mm+llm+l39、某类电子管的寿命X的概率密度为 100 f(x)=x20x100 x100求一架无线电在最初使用的150个小时中，所装的3个这样的电子管都不需要替换的概率是多少 ？3个管子全需替换的概率是
20、多少？ 解：PX150=1002 dx=150x23三个电子管的寿命相互独立，此实验相当于3重贝努利实验， 以Y表示使用150小时不需要换的电子管的个数 +32PY=3=C33381 =32730121 PY=0=C=273303040、设随机变量X分布规律为 X Pk 求Y=2X+1的分布律。 2-1 0.3 0 0.4 1 0.3 解： X 1 0 1 Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3 所以Y的分布律为 Y 1 3 P 0.4 0.6 41、设随机变量X的分布规律为 0 1 -2 -1 X Pk 1/5 1/6 1/3 1/15 求Y=2X2的分布律。 3 11/30 解:Y的分
21、布律为 Y P 0 1 4 9 11711 55303042 、 设XY=X ，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 1000,x1000 f(x)=x2 其他0,X的概率密度解： Y解：设X表示电子管的寿命，Y表示寿命小于180的电子管数 求Z=180-160 PX180=F=F(1)=0.8413 20 则YB(4,08413) 0(1-0.8413)=0.00063 PY=0=C44 所以0.00063 51、设X、Y为相互独立的随机变量,它们都服从N(0,s2)分布.证明z-z2/2s2eX2+Y2的概率密度为. fZ(z)=s20z0其它Z= 解: (X、Y)的联合概率密
22、度函数1-(x2+y2)/2s2f(x,y)=fX(x)fY(y)=e22psz0 f(x)=0,x0求X+Y及X-Y的概率密度。 解：令Z=X+Y 代公式fZ(z)=+-f(x,z-x)dx + =fX(x)fY(z-x)dx -x0x0当时，即时fX(x)fY(z-x)不为0 z-x0zx所以当x0时，fZ(z)=0 当x0时，fZ(z)=z0e-xe-(z-x)dx=ze-z xe-x,x0fZ(z)= 0,x0x0当时，即时fX(x)fY(x-z)不为0 x-z0xz所以当z0时，fZ(z)=当z0时，fZ(z)=+ze-xe-x+zdx=1-ze 2+0e-xe-x+zdx=1ze 21z2e,z01-z fZ(z)=e 1-ze,z02249、解：代公式fZ(z)=+-yf(yz,y)dy x0 非零域为y1000 yz1000当z0时，fZ(z)=0 当0z1，fZ(z)= +1000yf(yz)f(y)dy=1000y100010001dy= y2z2y22z2
