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1、概率论与数理统计公式总结概率论与数量统计 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 P(A|B)=P(AB)P(B)概率的乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式：从原因计算结果 n P(A)=P(Bk)P(A|Bk) k=1 Bayes公式：从结果找原因 P(B|A)=P(BA|B i)P(i)kn P(BP(A|B k)k)k=1第二章 二项分布XB(n,p) P(X=k)=Ckpk(1-p)n-kn，(k=0,1,.,n) 泊松分布XP() kP(X=k)=lk!e-
2、l，(k=0,1,.) 概率密度函数 + -f(x)dx=1 怎样计算概率 P(aXb) P(aXb)=bf(x) adx均匀分布XU(a,b) f(x)=1b-a(axb)指数分布XExp () f(x)=1qe-x/q(x0)分布函数 对离散型随机变量 F(x)=P(Xx)=kP(X=k)x对连续型随机变量 xF(x)=P(Xx)=-f(t)dt分布函数与密度函数的重要关系： F(x)=P(Xx)=x -f(t)dt F(x)=f(x)二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 f(x,y)联合分布函数 F(x,y)f(x,y)0+-f(x,y)dxdy=1 0F(x,y)
3、1 F(x,y)=PXx,Yy联合密度与边缘密度 fX(x)=+-f(x,y)dy f+ Y(y)=-f(x,y)dx离散型随机变量的独立性 PX=i,Y=j=PX=iPY=j连续型随机变量的独立性 f(x,y)=f X(x)fY(y)第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 E(X)=Pkk+xk=- +连续型随机变量，数学期望定义 E(X)=xf(x)dx -l E(a)=a，其中a为常数 l E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数 l E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 E(g(X)=g(xk)pkk常用公式 E(X)=xi
4、pijE(X)=xf(x,y)dxdyij E(XY)=xy ijpij ij E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(XY)=xyf(x,y)dxdy 当X与Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)方差 定义式 D(X)=+ -(x-E(X)2f(x)dx 常用计算式 D(X)=E(X2)-E(X)2常用公式 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)当X、Y相互独立时： D(X+Y)=D(X)+D(Y)方差的性质 D(a)=0，其中a为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数 当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 EX-E(
5、X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) r XY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)协方差的性质 Cov(X,X)=E(X2)-(E(X)2=D(X) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) 独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章 正态分布 XN(m,s2) f(x)=1-(x-m)22s2 2pse E(X)=m,D(X)=s2标准正态分布的概率计算 F(a)=1-F(-a)标准正态分布的概率计算公式 P(Za)=P(Za)=1-F(a) P(aZ
6、b)=F(b)-F(a) P(-aZa)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1 一般正态分布的概率计算 XN(m,s2)Z=X-msN(0,1)一般正态分布的概率计算公式 P(Xa)=P(Xa)=1-F(a-ms)P(aXb)=F(b-ma-m s)-F(s)第五章 卡方分布 n若XN(0,1)，则X2ic2(n) i=1n 若YN(m,s2),则12s2(Yi-m)c2(n) i=1t分布 若XN(0,1),Yc(n),则X2Y/nt(n) 若Uc2(n2U/n11),Vc(n2),则V/nF(n1,n2)2F分布 正态总体条件下 样本均值的分布： ta/2(n-1)自由度为n-1的t分布的
7、分位点 XN(m,s2X-mn)s/nN(0,1) 样本方差的(n-1)S2X-分布： s2c2(n-1)ms/nt(n-1) 两个正态总体的方差之比 S2/S212 s2/s2F(n1-1,n2-1) 12第六章 点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计 PnPnL=f(xi;q)L=p(x;q)似然函数 i i=1i=1 均值的区间估计大样本结果 xzs a/2n x样本均值s标准差(通常未知，可用样本标准差s代替)n样本容量(大样本要求n50)za/2正态分布的分位点 pzp(1-p)a/2n p样本比例n样本容量(大样本要求n50) z a/2正态分布的分位点小样本、正态总
8、体、标准差s已知 xzs a/2n 准差s未知s xta/2(n-1)n (n-1)S2-1)S2样本方差ca2,(n/2c12-a/2)S2c2a/2卡方分布的分位点正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知 s221s (x1-x2)za/2n+2n 12 两个正态总体方差比的置信区间 S2/S2222S1/S2 1Fa/2(n1-1,n2-1),Fa/2(n1-1,n2-1) 第七章 假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝
9、原假设。 不可避免的两类错误 第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设 第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验 l 单正态总体均值的检验 大样本情形Z检验 正态总体小样本、方差已知Z检验 正态总体小样本、方差未知 t检验 l 单正态总体方差的检验 正态总体、均值未知卡方检验 单正态总体均值的显著性检验 统计假设的形式 (1)H0:m=m0H1:mm0双边检验 (2)H0:mm0H1:mm0右边检验 单正态总体均值的Z检验 Z=X-m0s/n拒绝域的代数表示 双边检验 ZZa/2小样本、正态总体、标左边检验 Z-Za右边检验 ZZa 比例特殊的均值的Z检验 Z=p-p0p0(1-p0)/np样本比例 p0总体比例单正态总体均值的 t 检验 X-m0 t=S/n 单正态总体方差的卡方检验 2(n-1)S c2=2s0拒绝域 双边检验 c2c2或c2c2a/21-a/222cc左边检验 1-a/22右边检验 c2ca/2
