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1、概率计算的归类分析概率计算的归类分析 湖南 周友良 刘炜宇 一、按概率的定义计算 例1、检验某条自动生产流水线上的1000件产品，发现有10件不合格品，求该生产线上每件产品不合格的概率。 解：由自动生产流水线生产每件产品，可看成是在相同条件下重复进行试验，不合格品的频率可认作为不合格品的概率，故 10=0.01 1000答：该生产线上每件产品不合格的概率为0.01 P=例2、有10支球队随机地分成两组进行比赛，其中有2支种子队，求每组分到1支种子队的概率是多少？2支种子队分在同一组的概率是多少？ 解：10支球队平均分成2组共有C10C5种分法， 每组分到1支种子队的的分法有种，于是 42C84
2、C455 P(A)=55=C10C599552支种子队分在同一组的分法2C8C5种， 352C8C54P(B)=55= C10C5935二、按概率的公式与性质计算 例3、设某公司拥有两支获利是独立的股票，且甲种股票获利的概率为0.8，乙种股票获利的概率为0.7，求(1)两种股票都获利的概率；(2)两种股票至少有一种股票获利的概率. 解：依题意，设A表示“甲种股票获利”，B表示“乙种股票获利”，且A与B独立，P(A)=0.8，P(B)=0.7，则由乘法公式与加法公式 (1) 两种股票都获利的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.60.7=0.42。 (2) 两种股票至少有一种股票获利的概率 P
3、(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.7-0.42=0.88。 三、由随机变量的概率分布计算 例4、设某药物对某疾病的治愈率为p=0.8，现在10个患此种病的病人同时服用此药，求至少有6人治愈的概率. 解：设X为治愈的病人数，则X务随机变量且服从参数n=10,p=0.8的二项分布，故 kP(x6)=C100.8k0.210-k0.97 i=610即至少6人治愈的概率为0.97. 例5、设连续型随机变量X服从正态分布N2,32求Px2,P0x5 解：由于X服从非标准正态分布N2,32因此()()x-us=x-2:N(0,1)于是可以查标准3x-2(1)Px2=P0=(0)=0.
4、530-2x-25-2(2)P(0x5)=P=(1)333-(-0.667)=0.84134-(1-0.74857)0.59正态分布表得 注：求正态分布的概率往往是通过查标准正态分布函数表完成的！ 四、概率的应用 依概率的大小作决策时，人们的信念是：在一次试验中概率较大的事件较可能出现，概率很小的事件在一次试验中几乎不发生。 例6、袋中装有10颗棋子，其中5颗白棋子，5颗黑棋子，游戏规则规定：一次从中任取5颗，若5颗子颜色全相同，则主持者付给摸棋子者5元，否则摸棋子者付给主持者0.5元.求主持者输掉5元的概率与赢得0.5元的概率. 解：设X表示主持者的赢钱数，由古典概率得， 输掉5元的概率P(
5、x=-5)=21= 5C101262125= 5C10126赢得0.5元的概率P(x=0.5)=1-故可认为主持者在每局中必赢无疑。这就是在街头上常见到的堵博游戏的解释。 例7、设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率. 解：设A、B、C分别表示三种股票获利，依题意A、B、C相互独立，P(A)=0.8，P(B)=0.6，P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式 (1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率 ()()()P(ABC)+P(ABC)=0.20.60.5+0.80.40.5+0.8PABC+ABC+ABC+ABC=PABC+PABC+0.60.5+0.80.60.5=0.7(2) 三种股票至少有一种股票获利的概率P(A+B+C)=1-PA+B+C=1-0.20.40.5=0.96()计算的结果表明，投资于多支股票获利的概率大于每支股票的概率，这就是投资决策中分散风险的一种策略。 由于篇幅的限制，更多的应用举例在这里就不再介绍了，请同学们在学习过程中注意总结，值得推荐的是同学们可以考察体育彩票与福利彩票的中奖概率大小。
