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1、概率论与数理统计复习资料要点总概率论与数理统计复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 AB AB AB A-B A W f AB=f 2运算规则 AB=BA AB=BA (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) AB=AB AB=AB 3概率P(A)满足的三条公理及性质： 0P(A)1 P(W)=1 nn对互不相容的事件A1,A2,L,An，有P(UAk)=k=1P(Ak=1k) P(f)=0 P(A)=1-P(A) P(A-B)=P(A)-P(AB)，若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)P(B) P(A
2、B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率 定义：若P(B)0，则P(A|B)=P(AB)P(B) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) 若B1,B2,LBn为完备事件组，P(Bi)0，则有 n 全概率公式： P(A)=P(Bi=1i)P(A|Bi) Bayes公式： P(Bk|A)=P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi=1i)P(A|Bi)7事件的独立性： A, B独立P(AB)=P(A)P(B) 1 第二章 随机变量与概率分布 1 离散随机变
3、量：取有限或可列个值，P(X=xi)=pi满足pi0，pi=1 i 对任意DR，P(XD)=i: xiDpi +2 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足f(x)0, P(aXb)=3 几个常用随机变量 名称与记号 两点分布B(1,p) 二项式分布B(n,p) 分布列或密度 P(X=1)=p，P(X=0)=q=1-p P(X=k)=Cnpqkkn-k-f(x)dx=1； ba对任意aR，P(X=a)=0 f(x)dx；数学期望 p 方差 pq npq ,k=0,1,2,Ln， np Poisson分布P(l) P(X=k)=e-llkk!,k=0,1,2,L l l 几何分布G(p) P
4、(X=k)=qk-1p, k=1,2,L 1pqp2均匀分布U(a,b) f(x)=1b-a, axb， a+b21(b-a)1212指数分布E(l) f(x)=le-lx, x0 - (x-m)2s22ll2正态分布N(m,s) 2f(x)=12pse m 2s 4 分布函数 F(x)=P(Xx)，具有以下性质 F(-)=0, F(+)=1；单调非降；右连续； P(aa)=1-F(a)； 对离散随机变量，F(x)=F(x)= 对连续随机变量，i: xixpi； x-F(x)=f(x) f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，5 正态分布的概率计算 以F(x)记标准正态分布N(0,1)的
5、分布函数，则有 2 F(0)=0.5；F(-x)=1-F(x)；若XN(m,s)，则F(x)=F(x-ms)； 2 以ua记标准正态分布N(0,1)的上侧a分位数，则P(Xua)=a=1-F(ua) 6 随机变量的函数 Y=g(X) 离散时，求Y的值，将相同的概率相加； X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y)=fX(g-1(y)|(g-1(y)|，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量 1 二维离散随机向量，联合分布列P(X=xi,Y=yj)=pij，边缘分布列P(X=xi)=pi，P(Y=yj)=pj有 pij0；pij=1；pi=ijjpij，
6、pj=ipij 2 二维连续随机向量，联合密度f(x,y)，边缘密度fX(x), fY(y)，有 f(x,y)0； fX(x)=+-+-P(X,Y)G)=f(x,y)=1；Gf(x,y)dxdy； +-f(x,y)dy，fY(y)=+-f(x,y)dx 1, (x,y)G 3 二维均匀分布f(x,y)=m(G)，其中m(G)为G的面积 0, 其它4 二维正态分布(X, Y)N(m1,m2,s1,s2,r)，其密度函数f(x,y)=2ps1s222121-r22(x-m1)2(x-m1)(y-m2)(y-m2)-1exp-2r+222sss1s2122(1-r)且XN(m1,s1), YN(m2
7、,s2)； 5 二维随机向量的分布函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)有 关于x,y单调非降；关于x,y右连续； F(x,-)=F(-,y)=F(-,-)=0； F(+,+)=1，F(x,+)=FX(x)，F(+,y)=FY(y)； P(x1Xx2, y1Yy2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)； F(x,y)xy3 22 对二维连续随机向量，f(x,y)=6随机变量的独立性 X,Y独立F(x,y)=FX(x)FY(y) 离散时 X,Y独立pij=pipj 连续时 X,Y独立f(x,y)=fX(x)fY(y) 2 二维正态分布X,Y独立r=0，且X+YN
8、(m1+m2,s12+s2) 7随机变量的函数分布 和的分布 Z=X+Y的密度fZ(z)= 最大最小分布 第四章 随机变量的数字特征 1期望 (1) 离散时 E(X)=(2) 连续时E(X)=+-f(z-y,y)dy=+-f(x,z-x)dx xiipi，E(g(X)=g(xii)pi ； +-xf(x)dx，E(g(X)=+-g(x)f(x)dx； (3) 二维时E(g(X,Y)=i,jg(xi,yj)pij，E(g(X,Y)=-+-g(x,y)f(x,y)dxdy (4)E(C)=C；E(CX)=CE(X)； E(X+Y)=E(X)+E(Y)； X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)
9、2方差 方差D(X)=E(X-E(X)=E(X)-(EX)，标准差s(X)=D(C)=0, D(X+C)=D(X)； D(CX)=CD(X)； X,Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 3协方差 Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)； Cov(X,Y)=Cov(Y,X), Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)； Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)； Cov(X,Y)=0时，称X,Y不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价； 4 2222D(X)； D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov
10、(X,Y)4相关系数 rXY=s(X)s(Y)；有|rXY|1，|rXY|=1$a,b, P(Y=aX+b)=1 5k 阶原点矩nk=E(Xk)，k 阶中心矩mk=E(X-E(X)k 第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev不等式 P|X-E(X)|e2大数定律 3中心极限定理 设随机变量X1,X2,L,Xn独立同分布E(Xi)=m, D(Xi)=snn2D(X)e2 或P|X-E(X)|e1-D(X)e2，则Xi=1i近似2N(nm, ns)， 或1nnXiN(m, 近似s2X) 或i=1i -nm近似i=1nnsN(0,1)， 设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=p
11、，则对任意x，有m-npnpqlimPnx=F(x)或理解为若XB(n,p)，则XN(np,npq) 近似第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布； 样本数字特征： 样本均值X=1nni=12Xi； 样本方差S=(Xn-1i=11-X)2样本标准差S=(Xn-1i=11ni-X) 2 样本k阶原点矩nk=1nkiXni=1，样本k阶中心矩mk=1ni(Xni=1-X) k2统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布 222222 c分布 c=X1+X2+L+Xnc(n)，其中X1,X2,L,Xn独立同分布于标准正态分布N(0,1)，若Xc(n1),
12、 Yc(n2)且独立，则X+Yc(n1+n2)； 5 222 t分布 t=XY/nt(n)，其中XN(0,1), Yc(n)且独立； 2 F分布 F=X/n1Y/n222F(n1,n2)，其中Xc(n1),Yc(n2)且独立，有下面的性质 1FF(n2,n1), F 1 -a (n1,n2)=1Fa(n2,n1)4正态总体的抽样分布 XN(m,s2/n)； 1n2s(Xi=1i-m)c(n)； 22(n-1)S2s2c(n-1)且与X独立； 2t=X-mS/2nt(n-1)； t=(X-Y)-(m1-m2)SwS1/s1S2/s222n1n2n1+n2t(n1+n2-2)，Sw=(n1-1)S
13、1+(n2-1)S2n1+n2-222F=22F(n1-1,n2-1) 第七章 参数估计 1矩估计： 根据参数个数求总体的矩；令总体的矩等于样本的矩；解方程求出矩估计 2极大似然估计： 写出极大似然函数；求对数极大似然函数求导数或偏导数；令导数或偏导数为0，解出极大似然估计直接求最大值，一般为minxi或maxxi） 3估计量的评选原则 (1)无偏性：若E(q)=q，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； 4参数的区间估计 参数 条件 估计函数 置信区间 xmua2s已知 m 2u=x-msn s/ns未知 2t=x-ms/nxmta(n-1)2sn 2s 2m未知 c2=(n-1)s2s2(n-1)s222ca(n-1)c,(n-1)s21-a2(n-1) 6
