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1、概率论与数理统计 复习范围 复习资料概率论与数理统计课程 复 习 资 料 注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(01)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续
2、型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数l)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
3、 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握c2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体
4、均值与方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、c2检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值与方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 5会用中心极限
5、定理解题。 6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数l)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1统计量的判断。 2计算样本均值与样本方差及样本矩。 3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 5掌握无偏性与有效性的判断方法。 6会求正态总体均值与方差的置信区间。 7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子 摸球模型 例1：袋中有a个白球，个黑
6、球，从中接连任意取出m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a个白球，个黑球，c个红球，从中任意取出(ma+)个球，求取出的m个球中有k1(a) 个白球、k2(b) 个黑球、k3(c) 个红球(k1k2k3=m)的概率. 占位模型 例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A=指定n个格子中各有一个质点；(2) B=任意n个格子中各有一个质点； (3) C=指定的一个格子中恰有m(mn)个质点. 抽数模型 例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶
7、数的概率是多少？ 2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AUB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AUB) 例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AUB)，P(A|B)，P(A|B)，P(A|B) 3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，
8、i=1,2,n,的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i | A)。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：顾客买下该箱的概率；在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分
9、布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 (1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,n, 确定参数 求概率P(aXb) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=g(X)的分布律及期望Eg(X) 例：随机变量X的分布律为. X p 1 k 2 2k 3 3k 4 4k 确定参数k 求概率P(0X3)，P1X3 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=(X-3)2的分布律及期望E(X-3)2 (2)已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x) 确定参数 求概率P(aX
10、b) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=g(X)的密度函数及期望Eg(X) kx20x2例：已知随机变量X的概率密度为f(x)=， 0其他确定参数k 求概率P1X3 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=X的密度及期望E(X) (3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n, 确定参数 求概率P(X,Y)G 求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n, 求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和P(Y=yj|X=
11、xi)， j=1,2,n, 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数rXY，判断是否不相关 求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y) 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 0.05 0.03 0.02 0.1 0.05 0.05 0.15 0.05 0.1 0.2 0.07 0.13 求概率P(XY)， P(X=Y) 求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望E(
12、X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数rXY，判断是否不相关 求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律 (4)已知二维连续型随机变量X的联合密度函数f(x, y) 确定参数 求概率P(X,Y)G 求边缘密度fX(x)，fY(y)，判断X,Y是否相互独立 求条件密度fX|Y(x|y)，fY|X(y|x) 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数rXY，判断是否不相关 求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望Eg(X, Y) cx2y,x2y1例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x,y)=
13、， 其它0,确定常数c的值； 求概率P(XY) 求边缘密度fX(x)，fY(y)，判断X,Y是否相互独立 求条件密度fX|Y(x|y)，fY|X(y|x) 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数rXY，判断是否不相关 5会用中心极限定理解题。 例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.52，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率 例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。 6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数l)、均
14、匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1统计量的判断。 对于来自总体X的样本X1,X2,L,Xn，由样本构成的各种函数是否是统计量。 2计算样本均值与样本方差及样本矩。 3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 (q+1)xq,0x1例：设总体X的概率密度为f(x)=，X1,L,Xn是来自总体X的一个样本，0,其它求未知参数q的矩估计量与极大似然估计量. 5掌握无偏性与有效性的判断方法。 对于来自总体X的样本X1,X2,L,Xn，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。 例：设X1,X2,X3是来自总体X的一
15、个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计 13113111X1+X2+X3；(X1+X2+X3)；X1+X2-X3；(X1+X2)；X1+X2+X3 3251023412 求出方差，比较哪个更有效。 6会求正态总体均值与方差的置信区间。 对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。 7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。 例：设XN(u,s2)，u和s2未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写出2检验u与给定常数u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检
16、验s2与给定常数s0比较是否显著偏大的步骤。 1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子 摸球模型 例1：袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 分析：本例的样本点就是从a+中有次序地取出m个球的不同取法；第m次取出的球是白球意味着：第次是从a个白球中取出一球，再在a+-1个球中取出m-1个球。 解：设B第m次取出的球是白球 m 样本空间的样本点总数： n=Aa+b m-1raAaa+b-1= 事件B包含的样本点： r=CA，则 P(B)= mna+bAa+b 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规
17、则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。 例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率. 解：设B取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球 9 样本空间的样本点总数： n=C15=5005 1am-1a+b-1135C5C6=240，则 P(B)=120/1001=0.048 事件B包含的样本点： r=C4占位模型 例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A=指定n个格子中各有一个质点；(2) B=任意n个格子中各
18、有一个质点； (3) C=指定的一个格子中恰有m(mn)个质点. 解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有N种不同分布，即n个质点共有Nn种分布。故样本点总数为：Nn (1)在n个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同放法；因此，事件A包含n!的样本点数：n!，则 P(A)=n Nn(2)先在N个格子中任意指定n个格子，共有CN种不同的方法；在n个格子中放n个质点，nn=AN且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件B包含的样本点数： n!CN，则nANP(B)=n Nm(3)在指定的一个格子中放m(mn)个质点共有Cn种不同方法；余下n-m个质点任意放在余
19、下mCn的N-1个格子中,共有(N-1)n-m种不同方法.因此，事件C包含的样本点数： (N-1)n-m, 则mCn(N-1)n-mm1mN-1n-mP(C)=C) n(NNNn抽数模型 例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 4解：考虑次序.基本事件总数为：A10=5040，设B=能排成一个四位偶数 。 若允许千位数为0，此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有A93种选法；从而共有5A93=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选
20、法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有A82种选法；从而共有4A82=22435A9-4A82个。 因此P(B)=2296/5040=0.456 4A102概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AUB) 解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(AB)= P(A)P(AB)=0.2，P(AUB)= P(A)P(B)P(AB)=0.8 例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AUB)，P(A|B)，P
21、(A|B)，P(A|B) 解：P(AB)=0.1，P(AUB)=0.8，P(A|B)=P(A|B)=P(AB)P(B)-P(AB)P(AB)=3/7，P(A|B)=4/7，P(B)P(B)P(B)P(AB)P(AUB)=2/3 =P(B)1-P(B)3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：顾客买下该箱的概率；在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 解：设事件A表示“顾客买下该箱
22、”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i=0,1,2。则P(B0)=0.8，44C19C18412。 P(B1)=0.1，P(B2)=0.1，P(A|B0)=1，P(A|B1)=4=，P(A|B2)=4=C205C2019由全概率公式得 P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.81+0.1i=02412+0.1=0.94； 519由贝叶斯公式 P(B0|A)=P(B0)P(A|B0)0.81=0.85。 P(A)0.944(1) 例：随机变量X的分布律为. X p 1 k 2 2k 3 3k 4 4k 确定参数k 求概率P(0X3)，P(1X3) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X)
23、 求函数Y=(X-3)2的分布律及期望E(X-3)2 解：由 pi=1，有 k2 k3 k4 k =1 得 k =0.1 i P(0X3)= P(X=1)P(X=2)=0.3，P(1X3)= P(X=2)=0.2 x100.11x2 F(x)=0.32x3 0.63x4x41E(X)=xipi=3，E(X2)=xi2pi=10，D(X)=E(X2)-(E(X)2=1 iiY P 0 0.3 1 0.6 4 0.1 E(X-3)2=1 (2) kx2例：已知随机变量X的概率密度为f(x)=0确定参数k 求概率P(1X3) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=X的密度函数及
24、期望E(X) 0x2其他， 解：由 +-f(x)dx=1，有 32+-8f(x)dx=kx2dx=k=1，得 k=3/8 032 P(1X3)=f(x)dx=1132xdx=7/8. 80x3 F(x)=81+x00x2 x2223+3322 E(X)=xf(x)dx=xdx=3/2，E(X)=xf(x)dx=x4dx=12/5 0808- D(X)=E(X2)-(E(X)2=3/20 35yf(y)=400y2其他3262xdx= 875 E(X)=+-xf(x)dx=20(3) 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 0 X 0 1 2 0.05 0.03 0.02 1 0.1 0.
25、05 0.05 2 0.15 0.05 0.1 3 0.2 0.07 0.13 求概率P(XY)， P(X=Y) 求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数rXY，判断是否不相关 求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律 解：P(XY)=0.7， P(X=Y)=0.2 X的分布律 X p Y的分布律 Y p X的条件分布律 X|Y=2 p Y的条件分布律 Y|X=1
26、p ij0 0.5 1 0.2 2 0.3 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 0 1/2 1 1/6 2 1/3 0 0.15 ij1 0.25 2 0.25 3 0.35 E(X)=xipij=0.8，E(X2)=xi2pij=1.4，D(X)=E(X2)-(E(X)2=0.76 22=5，D(Y)=1 E(Y)-(E(Y)E(Y)=yjpij=2，E(Y2)=y2pjijijijE(XY)=xiyjpij=1.64，cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.04 ij rXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=0.046 相关 Z=XY的分布律 Z p 0 0.05
27、 1 0.13 2 0.22 3 0.3 4 0.17 5 0.13 W=maxX，Y的分布律 W p V=minX，Y的分布律 V p (4) cx2y,例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x,y)=0,x2y1其它0 0.05 1 0.18 2 0.37 3 0.4 0 0.55 1 0.22 2 0.23 ， 确定常数c的值； 求概率P(XY) 求边缘密度fX(x)，fY(y)，判断X,Y是否相互独立 求条件密度fX|Y(x|y)，fY|X(y|x) 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数rXY，判断是否不相关 解：由 +-1f(
28、x,y)dxdy=1，有 y-+-f(x,y)dxdy=dx2cx2ydy=1，得 c=21/4 -1x11 P(XY)=dy0212xydx=0.85 y421212122xydy=x(1-x4)-1x1 fX(x)=x4 80其它5y21272xydx=yfY(y)=-y420X与Y不独立 0y1 其它f(x,y)32-3=xy2 fX|Y(x|y)=fY(y)20-yx其它y其它1121+E(X)=xf(x,y)dxdy=dx2x3ydy=0 -1x4-1121+22=E(X)=xf(x,y)dxdydx2x4ydy=7/15 -1x4-D(X)=E(X2)-(E(X)2=7/15 +1
29、121E(Y)=yf(x,y)dxdy=dx2x2y2dy=7/9 -1x4-1121+22=E(Y)=yf(x,y)dxdydx2x2y3dy=7/11 -1x4- D(Y)=E(Y2)-(E(Y)2=28/891 1121+E(XY)=xyf(x,y)dxdy=dx2x3y2dy=0 -1x4-cov(X,Y)=0， rXY=0，X与Y不相关 5会用中心极限定理解题。 例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.52，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率 解： 例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概
30、率。 8yf(x,y)=fY|X(y|x)=fX(x)1-x40x2y1解：设这批种子发芽数为X，则XB(1000,0.9)，由中心极限定理得 所求概率为 PX880=1-F(880-90090)=1-F(-2.108)=F(2.108)=0.9826。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1统计量的判断。 2计算样本均值与样本方差及样本矩。 3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 (q+1)xq,0xta(n-1),拒绝Ho; 反之,接受Ho. 222,H1:s2s0(2)1.提出假设Ho:s2s0 2.选取统计量c=2(n-1)S220s2(n-1) 3.对给定的显著性水平a，查表得ca4.计算 c=2(n-1)s2s20. 2(n-1),拒绝Ho; 反之,接受Ho. 5.判断 若c2ca
