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1、概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计复习参考资料 第一章随机事件及其概率 1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： 1.2 概率 古典概型公式：P=A所含样本点数W所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ nnn.n=n所含样本点数： 所含样本点数：n(n-1)(n-2).1=n! n!P(A)=n n补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少
2、？ 解：设Ai ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？ 3所含样本点数：444=4=64 A1所含样本点数：432=24 243P(A1)= 648著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 1 2A2所含样本点数： C343=36 P(A2)=36964=16 A3所含样本点数：C334=4 P(A413)=64=16注：由概率定义得出的几个性质： 1、0P1 2、P()=1，P() =0 1.3 概率的加法法则 定理：设A、B是互不相容事件，则： P=P+P 推论1：设A1、 A2、 An 互不相容，则 P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2)
3、+ P(An) 推论2：设A1、 A2、 An 构成完备事件组，则 P(A1+A2+.+ An)=1 推论3： P=1P 推论4：若BA，则P(BA)= P(B)P(A) 推论5： 对任意两个事件A与B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B) 补充对偶律： A1A2.An=A1A2.An 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！2 A1A2.An=A1A2.An 1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式： P(A/B)=P(AB) P(B)P(AB) P(A)P(B/A)= P=PP= PP 有时须与P=P+PP中的P联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： P(B)=P(Ai)P(
4、B/Ai) i=1n逆概率公式： P(AiB)P(Ai/B)=P(B) (i=1,2,.,n) 1.5 独立试验概型 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 3 事件的独立性： A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B) 贝努里公式：课本P24 另两个解题中常用的结论 1、定理：有四对事件：A与B、A与B、A与B、A与B，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。 2、公式：P(A1A2.An)=1-P(A1A2.An) 第二章 随机变量及其分布 一、关于离散型随机变量的分布问题 1、求分布列：确定各种事件，记为x写成一行； 计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列
5、。注意：应符合性质 1、pk0 2、pkk=1 补例1：将一颗骰子连掷2次，以x 表示两次所得结果之和，试写出x的概率分布。解：所含样本点数：66=36 所求分布列为： x pk 补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出3只球中最大号码，试写出x的概率分布。 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 4 234567891011121/362/363/364/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 3C解：所含样本点数：5=10 所求分布列为： x p k 3 1/10 453/106/102、求分布函数F(x)： 分
6、布函数 F(x)=Pxx=xkxpk二、关于连续型随机变量的分布问题： xR，如果随机变量x的分布函数xF可写成F=-f(x)dx，则x为连续型。f(x)称概率密度函数。 解题中应该知道的几个关系式： f(x)0 -f(x)dx=1 +Paxb=Paxb=F(b)-F(a)=f(x)dxab第三章 随机变量数字特征 一、求离散型随机变量x 的数学期望Ex =？ 数学期望Ex=xkpk k著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 5 二、设x 为随机变量，f(x)是普通实函数，则=f(x)也是随机变量，求E=?x pk = f(x) x1 p1 y1 x2 p2 y2 xk pk yk 以上计算只
7、要求这种离散型的。 补例1：设x的概率分布为： x pk 1 1 50 1 101 1 102 3 105 23 102求：h=x-1，h=x的概率分布；Eh。 解：因为 x pk =x1 =x2 1 1 50 1 101 1 102 3 102 1 1 0 0 1 1 4 5 23 103 225 4所以，所求分布列为： =x1 pk 和： =xpk 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 6 2 1 51 1 100 1 101 3 103 23 102 1 1 50 1 101 1 104 3 1025 43 10当=x1时，E=E =2+(1)+0+1+5101010210 =1/4当
8、=x时，E=E x=1+0+1+4+ 5101010410 =27/8 三、求x 或的方差Dx =？ D=？ 22实用公式Dx=ExEx 222(xp)Ex(Ex)其中，=kk k11133322111325322 Ex=xkpk k补例2：x pk 求：E x 和D x 2 0.4 0 0.3 2 0.3 解：Ex=20.4+00.3+20.3=0.2 Ex2=20.4+020.3+220.3=2.8 Dx=Ex2E2x=2.82=2.76 第四章 几种重要的分布 常用分布的均值与方差 名称 概率分布或密度 期望 方差 参数 范围 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 7 二项分布 kkn
9、-kPx=k=Cnpq0P0 泊松不要求 分布 0 指数不要求 分布 1l1l20 解题中经常需要运用的E x 和D x 的性质 E x的性质 D x 的性质 E(c)=cD(c)=0著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 8 E(xh)=ExEh若x、h独立，则D(xh)=Dx+Dh若x、h独立，则E(xh)=ExEh E(cx)=cExD(cx)=c2Dx第八章 参数估计 8.1 估计量的优劣标准 若总体参数的估计量为q，如果对任给的0，有 -qe=1Pq，则称q是的一致估计； limn)=q，则称q是的无偏估计； 如果满足E(q均是的无偏估计，若D(q)D(q)，则称q是 如果q1和q2
10、112有效的估计量。 比q28.3 区间估计： 几个术语 1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量(x，(x，q，xn)及q，xn)，对于给定的a满足： 11.21.著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 9 (x，(x，Pq，xn)qq，xn)=1-a 11.21.）是q的100的置信区间，q和q则称随机区间的置信下、上限，百分数100称为置信度。 一、求总体期望E x 的置信区间 1、总体方差s已知的类型 据a，得F0(Ua)1，反查表得临界值Ua； a221nsxUx+d）x=i 求d=a 置信区间=1=0.975，反查表得：U=1.96 141X=Xi=(12.6+13.
11、4+12.8+13.2)=13 4i=14a2=0.3，n=4 d=Uasn=1.960.3=0.29 4所以，总体均值的=0.05的置信区间为： =即 2、总体方差s未知的类型 据a和自由度n1，查表得ta(n-1)； 2著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 10 n1n12(x-xi)2 确定x=xi和s=ni=1n-1i=1求d=ta(n-1)s 置信区间 n注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。 二、求总体方差s的置信区间 据和自由度n1，查表得临界值： 2ca(n-1)和c2a(n-1) 21-22n1n122(X-x)确定X=xi和s= ini=1n-1i=1(n-1)s
12、2(n-1)s2上限c2(n-1) 下限c2(n-1) aa1-22置信区间 典型例题： 补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下: 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计。 解：=0.04，又n=10，自由度n1=9 22c查表得，a(n-1)=c0.02(9)=19.7 22c2a(n-1)=c0.98(9)=2.53 1-2著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 11 1110X=xi=(482+493+.+469)=457.5 1010i
13、=11110s=(X-xi)2=(457.5-482)2+(457.5-493)2+(457.5-469)2 99i=12=1240.28 (n-1)s29s291240.28上限c2(n-1)=2=4412.06 c0.98(9)=2.53a1-2(n-1)s29s291240.28下限c2(n-1)=2=566.63 c(9)19.7a0.022所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为 第九章 假设检验 必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路： 1、提出待检假设H0 2、选择统计量 3、据检验水平a，确定临界值 4、计算统计量的值 5、作出判断 检验类型：未知方差s2，
14、检验总体期望(均值) 根据题设条件，提出H0:m= m0(m0已知)； 选择统计量T=X-ms/nt(n-1)； 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 12 据a和自由度n1，查表得ta(n-1)；由样本值算出X？和s？从而得到T0=作出判断 X-m； s/n若T0t(n-1)，则拒绝H0a0典型例题： 对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？ 解：H0:m= 549 选择统计量T=X-ms/
15、nt(n-1) a=0.05，n1=4，查表得：t0.05(4)=2.776 1又X=(545+.+545)=543 5s2=1(545-545)2+.+(543-545)2=57.5 4T0=X-m543-549=1.772.776 s/n57.5/5接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。 检验类型：未知期望(均值)，检验总体方差s2 根据题设条件，提出H0:s= s0(s0已知)； 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 13 选择统计量c(n-1)=2(n-1)s2s2； 据a和自由度n1，查表得临界22c(n-1)ca值：和a(n-1)； 1-22由样本值算出X？和
16、s？从而得到c0(n-1)=2(n-1)s2s2； 222c(n-1)ca若c0(n-1)a(n-1)则接受假设，否则拒绝! 1-22补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差s=64，今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？ 解： H0:s=64 2 选择统计量c(n-1)=2(n-1)s2s2a=0.05，n1=9，查表得： c2a(n-1)=c20.975(9)=2.7 1-2c2a(n-1)=c20.025(9)=19 21又X=(578+.+570)=575.2 10s2=1(575.2-578)2+.+(575.2-570)2=75.73 92975.73=10.65 c0(n-1)=64著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 14 c20.975(9)=2.7c20(n-1)=10.65c20.025(9)=19 接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！ 15
