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1、概率论与数理统计统计课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 程述汉 舒兴明第一章习题解答 1解： =0，1，10； =i|i=0，1，100n，其中n为小班人数； n =, , ,其中表示击中，表示未击中； =|x2+y21。 2解：事件ABC表示该生是三年级男生，但不是运动员； 当全学院运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的； 全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立； 当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，A=B成立。 3解：ABC；ABC；ABC；(AB)C；ABC； ABACBC;(7)ABC;(8)ABCABCABC 4解：因ABCAB，则PP可知P=0 所以A、B、C
2、至少有一个发生的概率为 P=P+P+P-P-P-P+P =31/4-1/8+0 =5/8 5解：P= P+P-P=0.3+0.8-0.2=0.9 P(AB)=P-P=0.3-0.2=0.1 因为P= P+P-PP+P=+, 所以最大值maxP=min(+,1)； 又PP，PP,故最小值min P=max(,) 6解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。 223由题设可知样本点总数n=C10，kA=C5。 ,k=C42C52C411所以P(A)=3=；P(B)=3= 1220C10C107解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”， 若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，kA=
3、(n-1)!.2!， 1 P(A)=(n-1)!.2!=2 n!n若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。wi表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，i=1,2,.,n-1。则样本空间 =w1,w2,.,wn-1，事件A=w1,wn-1所以 P(A)=2 n-18解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为94+1-1=94，样本点总数为104。故 94P(A)=1-PA=1-4 10()9解：设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”
4、、“全部为正品”、“至少有1件次品”。 4224由题设知样本点总数n=C10，kA=C3, C7,kB=C7P(A)=kAk31=,P(B)=B=, 而B=C，所以 n10n65 6P(C)=1-P(B)=10解：设A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、“5张牌中有2个不同的对”、“4张牌同点数”。 1513125样本点总数n=C52，各事件包含的基本事件数为kA=C4 C13,kB=C13C4C12C42221141kC=C13C4C4C44,kD=C13C4C48故所求各事件的概率为： 151312C13C4C12C4kAC4kBC13P(A)=
5、,P(B)=, 55nC52nC522221141kCC13C4C4C44C4C48kDC13 P(C)=,PD=()55nC52nC5211解：P(B)=1-PB=0.4,P(AB)=P(A)-PAB=0.7-0.5=0.2 ()()P(A|AUB)=P(AUAB)0.77= P(AUB)0.7+0.4-0.29 2 P(AB|AUB)=P(AB)0.22= P(AUB)0.99PA|AUB=(AB)=0.5=5 )PP(AUB)1-0.2812解：令A=两件产品中有一件是废品，B=两件产品均为废品，C=两件产品中有一件为合格品，D=两件产品中一件是合格品，另一件是废品。则 21122111
6、1Cm+CmCMCmCMCM-m-m+CM-mCm-mCm P(A)=,P(AB)=2,P(C)=,P(CD)=222CMCMCMCM所求概率为： P(B|A)=P(AB)m-1= P(A)2M-m-1P(CD)2m= P(C)M+m-1P(D|C)=13解：设A、B、C分别表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：P=0.05 P=0.4 P=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为： P=PPP=0.016 14解：令Ai=从甲团中任选两人，有i名中国旅游者,i=0,1,2 B=从乙团中随机选一人是中国人，则： i2-iCnCma+i ()P(Ai)=,PB|A=i2a+b+2Cn+mi2-iCnCma
7、+i由全概率公式有：P(B)=P(Ai)P(B|Ai)= 2i=0i=0Cn+ma+b+22215解：令A=天下雨，B=外出购物则：P=0.3 ， P=0.2 ， P=0.9 P=PP+PP=0.69 P=P(A)P(B|A)2= P(B)2316解：令A=学生知道答案，B=学生不知道答案，C=学生答对 P=0.5 PB=0.5 P=1 P=0.25 由全概率公式：P=PP+PP =0.5+0.50.25=0.625 所求概率为：P=0.5=0.8 0.6253 17解：令事件Ai=第i次取到的零件是一等品,i=1,2 Bi=取到第i箱,i=1,2则P(B1)=P(B2)=0.5 P(A1)=
8、P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A1|B2)=0.5P(A2|A1)=1018+0.5=0.4 5030P(A1A2)P(B1)P(A1A2|B1)+P(B2)P(A1A2|B2) =P(A1)0.40.5=1091817+0.550493029=0.4856 0.418证明：因P(A|B)=PA|B则 ()P(AB)PABP(A)-P(AB) =P(B)1-P(B)PB经整理得：P(AB)=P(A)P(B) 即事件A与B 相互独立。 19解：由已知有PAB=PAB=()()()()1，又A、B相互独立，所以A与B相互独立；A与4B相互独立。则可从上式解得：P=P=1/2 20解：设
9、A“密码被译出”， Ai“第i个人能译出密码”，i =1,2,3 则P(A1)=111,P(A2)=,P(A3)= 534P(A)=P(A1A2A3) 又A1,A2,A3相互独立， 因此P(A)=1-P(A1A2A3) 1-P(A1)P(A2)P(A3) 1-(1-)(1-)(1-)=0.6 21解：设Ai=“第i次试验中A出现”，i=1,2,3,4则此4个事件相互独立。由题设有： 151314P(A1UA2UA3UA4)=1-PA1A2A3A4=1-(1-P(A)=0.594() 解得P=0.2 22解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D表示敌机被击落。于是有 D=AB
10、CUABCUABCUABC故敌机被击落的概率为： 4 )()()=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) P(D)=P(ABC)+PABC+PABC+PABC=0.70.80.9+0.70.80.1+0.70.20.9+0.30.80.9=0.902 23解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则 P=0.4，P=0.6，P=0.9 三人中恰有一人钓到鱼的概率为： (PABCUABCUABC(=PABC+PABC+PABC()()()=0.40.40.1+0.60.60.1+0.60.40.9 =0.268 三人中至少
11、有一人钓到鱼的概率为： P(AUBUC)=1-PABC=1-PAPBPC =1-0.60.40.1 =0.976 24解：设D=“甲最终获胜”，A=“第一、二回合甲取胜”；B=“第一、二回合乙取胜”； C=“第一、二回合甲、乙各取胜一次”。则：P(A)=a2,P(B)=b2,P(C)=2ab ()()()()P(D|A)=1,P(D|B)=0,P(D|C)=P(D).由全概率公式得： P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) =a2+b20+2abP(D) a2所以 P= 1-2ab25解：由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，50
12、0个错字是否出现在上面，相当于做500次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为： P=C()(1-)k500150150k=3500k500-kk1=1-C500(50)k=02k49(50)500-k=0.9974 26解：设A=“厂长作出正确决策”。 每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次重复试验，则所求概率为： P= Ck=35k50.6k0.45-k=0.3174 5 附综合练习题解答 一、填空题 10.3;3/7;0.6 20.829;0.988 30.2;0.2 40 52/3 67/12 71/4
13、82/3 9C103357(1)(6) 6103/64 二、选择题 1. C; 2.D; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7.B; 8.C; 9.C; 10.D 三、1.假；假；假；真；真 2. 解：设A=所取两球颜色相同 11样本点总数为n=C9C6=54，若A发生，意味着都取到黑球或白球，故A包含的基本事件11数为k=2C3C2=12，所以P=2/9 3. 解：设A=“第三次才取得合格品” Ai=第i次取得合格品,i=1,2,3 则A=A1A2A3 P(A)=PA1PA2|A1PA3|A1A2=()()()3277= 10981204. 解：从0，1，9中不放回地依次选取3个数，组
14、成一个数码。若0在首位，该数码为两位数，否则为三位数，于是可组成的数有1098=720个。 设A=“此数个位为5”，kA=98=72 ，P=1/10 设B=“此数能被5整除”，kB=298，P=1/5 5. 解：设A=“系统可靠”，Ai=元件i工作正常,i=1,.,5，由全概率公式有： P(A)=P(A3)P(A|A3)+PA3PA|A3 当第3号元件工作不正常时，系统变为如下： 1 2 4 5 图1 ()()6 PA|A3=P22-P2 当第3号元件工作正常时，系统变为如下： 1 2 4 5 图2 ()()P(A|A3)=P2(2-P) 从而 22P(A)=P.P2(2-P)+(1-P)P2
15、2-P2 ()=2P2+2P3-5P4+2P5 6. 解：设A=“某人买到此书”，Ai=“能从第i个新华书店买到此书”，i=1,2,3 1由题设P(A1)=P(A2)=P(A3)=122=1411 P(A1A2)=P(A2A3)=P(A1A3)=144=1611P(A1A2A3)=1444=1643764故所求概率为：P(A)=P(A1UA2UA3)= 第二章习题解答 1. 设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X与Y的分布函数,为使aF1(x)-bF2(x)是某个随机变量的分布函数, 则a,b的值可取为( A ). 3222,b=- B.a=,b= 55331313C.a=-,b= D.a=
16、,b=- 2222A. a=2. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个产品中的次品数X的分布律. 解：因为随机变量X这4个产品中的次品数 X的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 7 40C15C591且PX=0=0.2817； 4C2032331C15C455PX=1=45=0.4696； C209692C15C5270PX=2=4=0.2167； C2032313C15C510PX=3=4=0.0310； C203230C15C541PX=4=4=0.0010. C20969因此所求X的分布律为： X 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696
17、 0.2167 0.0310 0.0010 3如果X服从0-1分布, 又知X取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出X的分布律和分布函数. 解：设Px=1=p，则Px=0=1-p. 由已知，p=2(1-p)，所以p=2 30 1/3 1 2/3 X的分布律为： X P 当x0时，F(x)=PXx=0； 当0x1时，F(x)=PXx=PX=0=1； 3当x1时，F(x)=PXx=PX=0+PX=1=1. 0X的分布函数为：F(x)=1/31x00x1 . x14. 一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求
18、在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布. 解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数. 则X的所有可能的取值为0，1，2，3. Px=0=7； 108 Px=1=377=； 109303277Px=2=； 109812032171Px=3=. 109871200 1 2 3 所以X的概率分布为： X P 7/10 7/30 7/120 1/120 5. 从一副扑克牌中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布. 解：设X其中黑桃张数. 则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 05C13C392109Px=0=0.2215； 5C52952014C13C3927417Px=1=0.411
19、4； 5C526664023C13C3927417Px=2=0.2743； 5C529996032C13C3916302Px=3=0.0815； 5C5219992041C13C39429Px=4=0.0107； 5C523998450C13C3933Px=5=0.0005. 5C5266640所以X的概率分布为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 6. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数. 解：由已知，X:G(p) 所
20、以P(X=i)=p(1-p),i=0,1,2LL. 7. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数. 求X的概率分布. 解：X的所有可能的取值为0，1，2，3. i 9 且PX=0=1； 2111PX=1=； 2241111PX=2=； 22281111PX=3=； 2228X P 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8 所以X的概率分布为 8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求： 恰有6个
21、人不能完成培训的概率； 不多于4个的概率. 解：设X不能完成培训的人数.则X:B(100,0.04)， 6PX=6=C1000.0460.9694=0.1052; 4PX4=Ck=0k1000.04k0.96100-k=0.629. 9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过p=0.05，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？. 解：设X100个产品中的次品数，则X:B(100,0.06)， 所求概率为PX3=Ck3k100(0.06)k(
22、0.94)100-k=0.1430. 10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数. 解：设X甲投掷一次后甲的赌本，X乙投掷一次后乙的赌本. 则X甲的取值为20，40，且 PX甲=20=PX甲=40=11，PX乙=10=PX乙=30=， 22所以X甲与X乙的分布律分别为： X甲 20 40 1/2 1/2 X乙 10 30 1/2 1/2 p p 10 0,1FX=,甲21,0,120x40, FX=,乙2x401,x20x
23、1010x0)的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为p(0p1)，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X的概率分布. 解：设Y=每天去图书馆的人数,则Y:P(l)， PY=i=lii!e-l,i=0,1,2,LL 当Y=i时，X:B(i,p)， PX=k=PY=iCikpk(1-p)i-k i=k+=i=k+lii!eCp(1-p)-lkiki-k=i=k+lii!e-li!pk(1-p)i-k k!(i-k)!=i=klii!e-li!lkpk-l+li-kki-kp(1-p)=e(1-p)i-k k!(i-k)!k!i=k(i-k)!=lkpkk!e-l(i-k)!(
24、1-p)i=k+li-ki-k=lkpkk!ee-ll(1-p)(lp)k-lp =ek!(lp)k-lpe,k=0,1,2,L. 即X的概率分布为PX=k=k!15. 设随机变量X的密度函数为f(x)=ax+b , 0x1 ， 其它 0 , 且PX，试求常数a和b. 11ab+； 解：PX=1(ax+b)dx=+， 3933由ab4a2b17+=+=得，a=-1.5,b=. 183932416. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+Barctanx, 求常数A, B; PX1 12 以及概率密度f(x). 1pA=F(-)=lim(A+Barctanx)=A-B=0x-22解：由
25、得. 1F(+)=lim(A+Barctanx)=A+pB=1B=x+p2所以F(x)=11+arctanx； 2pPX1=P-1x1=F(1)-F(-1)=0.5； f(x)=F(x)=1. 2p1+x117. 设连续型随机变量X的分布函数为 0,F(x)=Ax2,1,x00x1 x1求：常数A的值；X的概率密度函数f(x)；PX2. 解：由F(x)的连续性得F(1-0)=F(1+0)=F(1)=1 0,x022F(x)=A=1Ax=1即lim，所以，x,0x1； x1-1,x12x,0x1f(x)=F(x)=； 0,其他PX2=F(2)=1. A , 当 x12 18. 设随机变量X的分布
26、密度函数为f(x)=1-x0 , 其它 试求：系数A；P+1X的分布函数F(x). X2；21解：因为1=-f(x)dx=A1-x2-1dx=Aarcsinx-1=Ap 11 , x112 ； 所以A=，f(x)=p1-xp0 , 其它 13 211111PX2=1f(x)dx=1dx=arcsinx=； 21p3222p1-x21(3) 当x-1时，f(x)=PXx=0， 当0x1时，f(x)=PXx=x1-1p1-t21dt=1arcsinx+， p21当x1时，f(x)=PXx=1-1p1-t2dt=1， 0,11所以F=+arcsinx,2p1,x-1-1x10=1-PX10=1-所以
27、Y的分布为 10-f(x)dx=1-1001-1e5dx=e-2 5kkkPY=k=C5p(1-p)5-k=C5(e-2)k(1-e-2)5-k,(k=0,1,2,3,4,5)； PY1=1-PY=0=1-C5(e)(1-e)=0.5167. 0-20-2521. 设随机变量XN(5,4)，求a使： PXa=0.01. 14 解：由XN(5,4)得PXa=PX-5N(0,1) 2a-5X-5a-5a=0.01得，P所以PX-5a=0.99 X-5a=P-aX-5a aaaaX-5a=P-=F-F=2F-1=0.99 222222即F=0.995，查标准正态分布表得aa22=2.58，所以a=5
28、.16 22. 设XN(10,22)，求P10X13 , PX-102. 解：由XN(10,22)得X-10N(0,1) 2X-10P10X13=P01.5=F(1.5)-F(0)=0.9932-0.5=0.4932； 2PX-102=P-2X-102 =P-1X-10=1-F(2.32)=1-0.9898=0.0102 282824. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差X(cm)服从正态分布N(0,400)，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 解：由X:N(0,400)得cm的概率. X:N(0,1) 20设Y在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm的次数，则Y:B(3,p)
29、其中p=PX30=P-30X30=P-1.5X0.9，即PY=00.1 0Cn0.598700.4013n0.1，解之得，n3 必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0. 9. 26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分XN(m，s2)，某教授根据得分X将学生分成五个等级：A级：得分X(m+s)；B级：mX(m+s)；C级：(m-s)Xm；D级：(m-2s)X(m-s)；F级：X(m-2s). 已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分，则： m和s是多少？多少个学生得B级？ 解：由已知，m+s=448m=40
30、0，解之得 m-s=352s=48X-mPmXm+s=P0s1 =F(1)-F(0)=0.8413-0.5=0.3413 由于0.3413380=129.66，故应有130名学生得B级。 27. 已知随机变量X的概率分布如下， X -1 0 1 2 P 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 2求Y=-3X+1及Z=X+1的概率分布. 解：Y=-3X+1的所有可能的取值为4，1，-2，-5. 16 且PY=4=PX=-1=0.2； PY=1=PX=0=0.25； PY=-2=PX=1=0.3； PY=-5=PX=2=0.25. 所以Y=-3X+1的分布律为 Y=-3X+1 -5 -2 1
31、 4 P 0.25 0.3 0.25 0.2 Z=X2+1的所有可能的取值为1，2，5 且PZ=1=PX=0=0.25； PZ=2=PX=-1+PX=1=0.5； PZ=5=PX=2=0.25. 所以Z=X+1的分布律为 Z=X2+1 1 2 5 0.25 0.5 0.25 P 228. 设随机变量XN(0,1)，求Y=1-2X的密度函数. 解：由XN(0,1)，得pX(x)=12pe-x22，设Y=1-2X的分布函数为FY(y)，则 FY(y)=PYy=P1-2Xy=PX当y1时， 1-y. 2FY(y)=PYy=PX当y1时， 1-y=PW=1； 21-y 2FY(y)=PYy=PX=1-
32、PX1-y 21-y1-y=1-P-X 221-y1-y=1-FX-FX(-). 22 17 1-y1-y1-F-F(-),XX即FY(y)=220,pY(y)=FY(y) y1,y1.1-y11-y1)+pX(-),pX(=22220,1-(y-1)e8,=2p0,2y1,y1.y0f(x)=p(x2+1) x00,求Y=lnX的密度函数. 解：由于y=lnx是一个单调函数，其反函数为x=ey， a=minf(0+0),f(+)=-, b=maxf(0+0),f(+)=+.利用公式得Y=lnX的密度函数为 pY(y)=pX(ey)(ey) ey=,(-y+). 2ype+1230. 设通过点
33、(0,1)的直线与x轴的交角q在0,p上服从均匀分布，求这直线在x轴上截距X的密度函数. 解：以表示过点的直线与x轴的交角， 见图1。由题意知：随机变量在(0,)内服从均匀分 布，故得的概率密度为 (0,1) 1,pa(x)=p0,0xp,其它.a 设随机变量X表示直线在x轴上的截矩，易知 图1 18 -X=ctga，即X=-ctga，其分布函数为： FX(x)=PXx=P-ctgax=Pctga-x =Paarcctg(-x)=Farcctg(-x)。 其密度函数为 pX(x)=FX(x)=Farcctg(-x) =1,p(1+x)(-x+). 第三章习题解答 1. 设随机变量(X, Y)的
34、联合分布为 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b 若X，Y相互独立，则. 2112 A. a=,b= B. a=,b= 99991121C. a=,b= D. a=-,b= 3333解：根据离散型随机变量独立性的定义， px=1y=2=px=1py=2 即：1/9=得：a=2/9 px=1y=3=px=1py=3 得：b=1/9 2.同时掷两颗质体均匀的骰子, 以X, Y分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则( A ). 11 A.PX=i,Y=j=,i,j=1,2,L6 B.PX=Y= 363611C.PXY= D. PXY= 22解：根据离散型随机变量独立性的定义， 111PX=i,Y=j=pX=ipY=j=,i,j=1,2,L6 6636因为所有的样本点为 一直到共36个 19 15，则C选项PXY= 6621XY的样本点数为21个，PXY= 36X=Y共6个，故B选项PX=Y=23.若XN(m1,s12),YN(m2,s2),且X, Y相互独立，则( C ). 2 A.X+YN(m1+m2,(s1+s2)2) B.X-YN(m1-m2,s12-s2) 22C.X-2YN(m1-2m2,s12+4s2) D.2X-YN(2m1-m2,2s12+s2) 参看课本69页推论2：随机变量XiN(mi，si2)(i=1
