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1、概率论习题五答案1. 设随机变量X 的方差为2.5,试用切比雪夫不等式估计概率P|X -E(X)|5的值. 解：2. 将一颗均匀骰子掷10次,X 为点数6出现的次数,用切比雪夫不等式估计P|X -E(X )|2的值,并计算P|X -E(X )|2的值. 3. 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg,若用最大载重量为5t的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. 解： i=1,2,3，n 易知看作独立分布的随机变量，令 E=50 D=25 E=50n D=25n 由中心极限定理有， 4.是独立同分布的
2、随机变量序列，其中解：令证： ,证明 渐近服从标准正态分布。 由中心极限定理有 即 5. 一射手射击一次的得分X 是一个随机变量,其分布律为 X 8 9 10 P 0.01 0.29 0.70 (1)求独立射击10次总得分小于等于96的概率; (2)求在900次独立射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率 解：E(X)=9.69 (1) 以 分别记10次射击的得分，则： (2) 设在900次射击中得分为8分的射击次数随机变量Y ，则6.一学校有1000名住校生,每人都以8 0%的概率去图书馆上自习,问图书馆至少应设多少个座位,才能以99%的概率保证去自习的同学都有座位. 解：X表示同时去图书
3、馆上自习的人数，并设图书馆至少设n个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位，即n满足 n 故取n=830 7.试利用切比雪夫不等式；中心极限定理，分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面向上”的频数在0.40.6的概率不小于0.9. 解：XB(n,0.5),E(X)=np=0.5n,D(X)=np(1-p)=0.25n xP0.40.6=P0.4nX0.6n=P-0.1nX-0.5n0.1nn， D(X)0.25n25=PX-0.5n0.1n1-=1-=1-0.9(0.1n)20.01n2nX0.6n-0.5n0.4n-0.5nP0.40.6=P0.4nX15=2PX1521
4、-f(1.34)=21-0.9099=0.1802k15001500k=1k=1nk19.试证当n时，e 2k=1k!-nn证：设Xk(k=1,2,.)为服从参数的=1泊松分布，并相互独立，由列n11维中心极限定理知P=(Xk-1)02pnk=1-e0-t221dt=(n)即2nn1PXkn(n),而Xk服从参数=n的泊松分布，故有k=1k=12nnknnnke-n-nPXk=ek=1k!k=1k=1k! knn1于是e-n(n)2k=1k!(B) 1.设随机变量X1，X2，.Xn相互独立，Sn=X1+X2+.Xn,则根据林德伯格列维中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，
5、X2，.Xn( ) (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散性分布 解：,(B)的条件不够 缺少“方差不为0”，故入选 2.在太平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布XiN(a,0.22),若此Xn表示n次称量结果的算术平均值，则为PXn-a0.10.95使，n的最小值不小于自然数 (A)16 (B)8 (C)4 (D)32 解：设第i次称量结果为Xi(i=1,2,.,n)由题设X1,X2,.,Xn独立同分布，1nXiN(a,0.2),Xn=Xi作为独立正态变量X1,X2,.Xn的线性组合仍ni=120.22n(Xn-a)故是正态变量，且有XnN(a,N(0,1) n0.2nnnnn(Xn-a)QPXn-a0.1=P=f-f(-)=2f-1 0.22222由2f(nn)-1=PX-n-a0.10.95得f0.975 22n入选。 1.96，即n(3.92)2=15.3664。故n至少为16，2查表得
