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1、概率论与数理统计知识点总结第1章 随机事件及其概率 随如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果机试验不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则和随机称这种试验为随机试验。 事件 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 基本事任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用w来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用W表示。 一个事件就是由W中的部分点组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事
2、件，它们是W的子集。 为不可能事件。 不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，事发生）：AB 件的关系与运算 如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：W为必然事件，件、样本空间和事件 A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AUB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，1 也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AIB，或者AB。AIB=，则表示A与B不可能同时发生，称
3、事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 W-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率：i=1IA=UAii=1iAUB=AIB，AIB=AUB 设W为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，概若满足下列三个条件： 1 0P(A)1， 率的公2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件A1，A2，有 理化定义 1 W=w1,w2Lwn， 2 P(w1)=P(w2)=LP(wn)=。
4、 古典概型 =1nPAiU=P(Ai)i=1i=1 则称P(A)为事件A的概率。 设任一事件A，它是由w1,w2Lwm组成的，则有 P(A)=(w1)U(w2)ULU(wm) =P(w1)+P(w2)+L+P(wm) mA所包含的基本事件数= n基本事件总数几若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，何概型 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，1 则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)=L(A)。其中L(W)L为几何度量。 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 加当AB不相容P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B) 法公式 当A
5、B独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 减当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式 当A=时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称条件下，事件BP(AB)为事件P(A)P(AB)发生的条件概率，记为P(B/A)=。 P(A)A发生条件概率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有 P(A1A
6、2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)。 乘法公式 两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有 P(B|A)=P(AB)P(A)P(B)=P(B)P(A)P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相独立性 互独立。 必然事件W和不可能事件与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， 1 P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
7、 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,L,Bn满足 1B1,B2,L,Bn两两互不相容，P(Bi)0(i=1,2,L,n)， i=1， 2则有 全概公P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+L+P(Bn)P(A|Bn)。 AUBin式 全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式； 设事件B1，B2，Bn及A满足 1 B1，B2，Bn两两互不相容，P(Bi)0，i=1，2，n， 2 则 AUBii=1n，P(A)
8、0， ，i=1，2，n。 j贝叶斯公式 P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)P(B)P(A/B)jj=1n此公式即为贝叶斯公式。 ，通常叫先验概率。P(Bi/A)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。 我们作了n次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； u n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 伯努利u 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 概型 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯
9、努利试验。 1 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-p=q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率， Pn(k)=Cnpkqn-kk，k=0,1,2,L,n。 第二章 随机变量及其分布 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,， 离散则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 型随Xx1,x2,L,xk,L机变量的分布律 F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数设x，有 连续F(x)=xf(x)dx-， 型随则称X为连
10、续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 机变密度函数具有下面4个性质： 量的1、 f(x)0。 P(X=xk)p1,p2,L,pk,L。 |显然分布律应满足下列条件： pk0，k=1,2,L， k=1pk=1。 。 分布2、 -x3、P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)=xf(x)dx 密度 f(x)dx=121+4、P(x=a)=0,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0 1 分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)=P(Xx) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(aXb)=F(b)-F(a) 可以得到X落入区间(a,b
11、的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间0-1分P(X=1)=p, P(X=0)=q 六大布 分布 二项分在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生布 的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,L,n。 kkn-kP(X=k)=Pn(k)=Cnpq， 其中q=1-p,0p0，k=0,1,2L， 则称随机变量X服从参数为l的泊松分布，记为Xp(l)或者P(l)。 泊松分布为二项分布的极限分布。 f(x)在a，均匀分设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数1b上为常数，即 b-a布 1axb ,f(x)=b-a 其他， 0,则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为XU
12、(a，b)。 分布函数为 0， xa， x-a, b-a axb F(x)=f(x)dx=-x当ax1x2b时，X落在区间内的概率为 P(x1Xb。 。 指数分布 f(x)=0, x0，则称随机变量X服从参数为l的指数分布。 le-lx, x0, 1 正态分设随机变量X的密度函数为 (x-m)-1f(x)=e2s， -x0为常数，则称随机变量X服从参数为m、s的222正态分布或高斯分布，记为XN(m,s)。 f(x)具有如下性质： 1 f(x)的图形是关于x=m对称的； 2 当x=m时，f(m)=212ps为最大值； e2 - ( t -s m ) dt F ( x ) = 21 -x ps
13、22若XN(m,s)，则X的分布函数为 参数m=0、s=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)，其密度函数记为x2 -12j(x)=e2p，-x+， 分布函数为 F(x)=12pxF(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 -e-t22dt。 12X-m2如果XN(m,s)，则N(0,1)。 sx2-mx1-mP(x1ma)a。 分位数 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,L,xn,LX ， 函数P(X=xi)p1,p2,L,pn,LY=g(X)的分布列如下： g(x1),g(x2),L,g(xn),L的分Y， 布函数 1 p1,p2,L,pn,L若有某些g(xi)相
14、等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 P(Y=yi)连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布 联离散型 合分布 如果二维随机向量x的所有可能取值为至多可列个有序对，则称x为离散型随机量。 设x=的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,L)，且事件x=(xi,yj)的概率为pij,称P(X,Y)=(xi,yj)=pij(i,j=1,2,L) 为x=的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X x1 x2 M y1 y2 yj p
15、11 p12 p21 p22 M M p1j p2j M M xi M pi1 M M pij M M 这里pij具有下面两个性质： pij0； pij=1. ij1 连续型 对于二维随机向量x=(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(-x+,-y+)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyd有 P(X,Y)D=f(x,y)dxdy, D则称x为连续型随机向量；并称f(x,y)为x=的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： f(x,y)0; -f(x,y)dxdy=1. +1 2联合设为二维随机变量，对于任意实数x
16、,y,二元函数 分布函数 F(x,y)=PXx,Yy 称为二维随机向量的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(w1,w2)|-X(w1)x,-x1时，有FF(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1); F分别对x和y是右连续的，即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0); F(-,-)=F(-,y)=F(x,-)=0,F(+,+)=1. 对于x1x2，y1y2， P(x1xx2,y10,s20,|r|0, D(Y)0，则称 系数 sXYD(X)D(Y)为X与Y的相关系数，记作rXY。 P(X=aY+b
17、)=1 |r|1，当|r|=1时，称X与Y完全相关：完全相关正相关，当r=1时(a0)，负相关，当r=-1时(a0)，而当r=0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： rXY=0； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); 方差性(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); 质 (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 1 独 若随机变量X与Y相互独立，则rXY=0；反之不真。 ， 立和不 若N相关 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 1
