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1、概率论作业习题概 率 论 作 业 1写出下列随机试验的样本空间： (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数； (2)在单位圆内任取一点，记录它的坐标； (3)一射手射击，直到击中目标为止，观察射击情况。 (4)把A，B两个球随机地放到3个盒子中去，观察球的分布情况。 2一工人生产了四件产品，以A表示他生产的第i件产品是正品(i=1,2,3,4)，试用A表示(i=1,2,3,4)下列事件： (1)没有一件产品是次品； (2)至少有一件产品是次品； (3)恰有一件产品是次品； (4)至少有两件产品不是次品。 3对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A=第一次击中飞机，B=第二次击中飞机 C=恰有一
2、弹击中飞机，D=至少有一弹击中飞机，E=两弹都击中飞机。 (1)试用事件A，B，表示事件C，D，E。(2)C与E是互逆事件吗？为什么？ 4从一批产品中任意抽取5件样品进行质量检查。记事件A表示“发现i件次品”(i=0,1,2,L,5)，试用A来表示下列事件： 发现2件或3件次品；最多发现2件次品；至少发现1件次品。 5把事件AB与ABC分别写成互不相容事件和的形式。 6指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ AUB=ABUB；(AUB)C=AIBIC；(AB)(AB)=f；若AB，则A=AB；若AB=f且CA，则BC=f。 A=x|x1B=x|x242。具体写出下列各事件： 7.设S=x|0x2
3、，113AB； AB； AB AB 8一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、10的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求最小号码为5的概率，最大号码为5的概率，一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。 9在1500个产品中有400个次品，1100个正品.任取200个，求恰好有90个次品的概率；至少有两个次品的概率。 10将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。 11从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。 12将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 13把长为l的棒任意折成3段,求此三
4、段能构成一个三角形的概率。 14在矩形(a,b):1a2,-1b1中任取一点,求使方程ax+b=0的解大于1的概率. 415设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是_ P(C)P(A)+P(B)-1 P(C)P(A)+P(B)-1 P(C)=P(AB) P(C)=P(AB) 16设P(A)=11P(B)=23，。在下列三种情况下求P(BA)的值： P(AB)=18 AB=f； AB； 17设A、B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？ 18设A1、A2为两个事件，证明 P(A1A
5、2)= 1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2) 1-P(A1)-P(A2) P(A1A2) P(A1A2) P(A1) +P(A2) 19设A、B为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。求P(AIB). 20A、B为两个事件且P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明P(AB)=P(AIB).。 21.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|AUB) 11P(A)=P(B)=,P(A|B)=36，求P(A|B) 22.设A，B是两个事件，23. 掷3颗骰子，若已知出现的点数没有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的概率。 24袋中有3个白球和一个红球，逐
6、次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第3次摸球时摸到红球的概率？ 25设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 26袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？ 27有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求至少有一门火炮命中目标的概率；恰有一门火炮命中目标的概率。 28盒中有10个合格品，3个次品，从盒中一件一件的
7、抽取产品检验(取后不再放回)，以X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求X的分布律，并求概率PX3。 29袋中装有编上号码1,2,9的九个性质相同的球，从袋中任取5个球，以X表示所取的5个球中偶数号球的个数，求X的分布律，并求其中至少有两个偶数号球的概率。 30射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命中3发的概率;(3)至少命中一发的概率. 31从仲恺农业工程学院到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是13，以X表示途中遇到的红灯次数，求X的分布律，以Y表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y的分布律。求从仲
8、恺农业工程学院到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。 32假设某汽车站在任何长为t的时间内到达的候车人数N服从参数为3t的泊松分布。求在相邻两分钟内至少来3名乘客的概率；求在连续5分钟内无乘客到达的概率。 33某种疾病的发病率为0.01,求下列概率的近似值。 (1)100个人中恰有一人发病的概率为多少？ (2) 100个人中至少有一人发病的概率为多少？ 34设随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，已知PX=k正比于k 值 ，求X的分布律及分布函数，并求PX3,PX=3,PX3。 x2A12x4F(x)=834x0x0，其中l0是 常数。求参数A，B，PX2,PX3X的概率密度 Cx21x2f
9、(x)=Cx2xx0=0.05。 238设X均匀分布于区间-2，5，求方程4u+4Xu+X+2=0有实根的概率。 A(1+2x)0x0.5.(3)求F(x) 40某甲上班地点离家仅一站路.他在公共汽车站候车时间为，服指数分布.其x1-1e4f(x)=40概率密度为x0x0.甲每天要在车站候车4次，每次若候车时间超过5分钟，他就改为步行.求甲在一天内步行次数恰好是2次的概率 241设服从N(a,s)分布，求: (1)P|X-a|s.(2)P|X-a|2s.(3)P|X-a|3s. 42. 设XN(0,1).求b使：P|X|b=0.05. (3)PXb=0.05. 测量某目标的距离时，误差X，且知
10、XN(20,402),求三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30m的概率. 43某汽车加油站的油库每周需油量X(kg)服从N分布.为使该站无油可售的概率小于0.01，这个站的油库容量起码应多大？ 44在电源电压不超过200v, 200240v，和超过240v三种情况下，某电器损坏的概率分2别为0.01,0.001,和0.1，假设电源电压X服从正态分布N(220,s),且知电压在250v以下的概率为0.9,现该电器损坏,求损坏时电源电压在200240v之间的概率. 45.一个电子部件包含两个主要元件，分别以X,Y表示这两个元件的寿命，设1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y)F
11、(x,y)=0(x,h)的分布函数为x0,y0其它;求两个元件的寿命都超过120小时的概率. 46. 设X与Y的联合密度函数为(1)求参数A，求111(,),(,1)P(2X-Y1,y1其它,(1)求c,(2)求PX2 x1,y1其它(a-x-2)(1-e-y+1)F(x,y)=b49.二维随机变量(X,Y)的分布函数为， (1)求参数a,b ;(2)求P1X2,01,|y|120F(x,y)=1(7+10y+3y2)1-(1-x4)0x1,|y|1,y10其它51.二维随机变量(X,Y)服从分布函数:求(X,Y)的边缘分布函数，求X的概率密度 52设随机变量具有下列概率密度 2x+cx0x1
12、,0yxf(x,y)=3f(x,y)=00others(1)，(2)xy0x1,0y2其它cx2yx2y1c-1x0,|y|-xf(x,y)=f(x,y)=others0其它0(3), (4) 分别求其中的未知参数c,并求关于X和关于Y的边缘概率密度。 53若二维随机变量(X,Y)分别服从第52题中的概率密度，判断X与Y的独立性. 54设X服从参数l=1的指数分布，Y服从参数l=2的指数分布，且X与Y独立，求PXx=e,x0,i55X1,X2相互独立，且i=1,2，pXi4,X24；(2)PX1+X21；X1与X2的联合分布函数。 56设随机变量X与Y独立，下表列出了(X,Y)的分布律及关于X
13、和关于Y的边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 X Y x1 x2 p. j=pY=yj y1 y2 y3 pi.=pX=xi 1 18 18 16 pp57.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件两数之和小于1.2的概率为多少？ X02114258已知X的概率分布为Pk21Y=X+2,Z=cos(X)34，分别求的概率分布 32xf(x)=8059已知X的概率密度为0x100f(x)=x20|x|100,设Y=1-X2,Z=e-X,求Y与Z的概率密度. 60已知X的概率密度为 61设电压V=AsinQ,其中A是一个已知的正常数，相角Q是一个随机变量，在区间上服从均匀分布，试
14、求电压V的概率密度. 12e-3x-4yf(x,y)=062随机变量X与Y的联合概率密度为x0,y0其它, 分别求 (1)Z=X+Y (2) M=max(X,Y) (3) N=min(X,Y) 的概率密度. 63设随机变量X与Y独立，且X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求：(1)Z=X+Y的概率密度. (2)M=max(X,Y)的概率密度. (3)N=min(X,Y)的概率密度. (4)U=2X-Y的概率密度. 64设随机变量X与Y独立，且均服从参数为p的两点分布，即PX=1=p,PX=0=1-p.分别求随机变量U=X+Y, V=max(X,Y)的分布律.并求U与V的联
15、合分布律. 65某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。 66设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 2e-2x,f1(x)=0,67设随机变量X1,X2的概率密度分别为12y20yx1f(x,y)=x00,求4e-4x,x0,f2(x)=x0,0,x0,x0,用数学2E(X+X),E(2X-3X);又设X1,X2相互独立，求E(X1X2)。 1212期望性质求 68一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2，0.
16、3，0.4 ，且相互独立，试用两种方法求发生故障的元件数X的数学期望。 xf(x)=2-x00x11x2其他69设随机变量X具有密度函数： 求EX,DX。 013-2X331/31/21/121/12E(2X+5)D(2X+5)。 70(1)设，求，XU(-pp4,4设)3E(X)，D(X3) , EcosX，DcosX。 ，求： 设X服从均值为3的指数分布，求： -2X-2XP|X-E(X)|2D(X)EeE2XDe。 D2X ，； ； ，71(1)设X为n次独立实验中事件A出现的次数，在第i次实验中时间A出现的概率为pi,i=1,2,.,n，求DX。 设X服从参数为2的 Poisson分布
17、，求随机变量Z=3X-2的期望与方差。 对某一目标进行射击，直到击中目标为止，若每次射击命中率为望与方差。 设X服从二项分布，且E(X)=2.4，D(X)=1.44，求二项分布的参数p，求射击次数的期n,p的值。 72用切比雪夫不等式证明：能以大于的概率相信，掷1000次均匀硬币时，正面出现的次数在400到600之间。 2-x-yf(x,y)=00x1,0y11). ,X1L,X6是它的一个样本,Z=Xii=16,(1)写出Z的概率密度; (2)289设从总体XN(m,s)中抽取容量为18的样本, ,2未知 , (1)求P(S2/21.2052),其中S2=(Xi=1ni-X)2n-1.,(2
18、) 求D(S2). t=XYn90设XN(0,1),Yc(n),X与Y相互独立,又2,证明tF(1,n). 2291设总体XN(80,20)，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？ 92. 设总体XN(0,)1,从此总体中取一个容量为6的样本(X1,L,X6),设Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试决定常数c,使得随机变量cY服从c2分布. ,625),各从中抽取容量为5的样本,X,Y分别93. 总体X,Y独立,XN(150,400),YN(125样本均值,求X-Y0的概率. 94设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1,X2
19、,L,Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计量与极大似然估计量. 11-(1+)q1q,xc,f(x;q)=cqx0,其它具有概率密度为其中参数095设总体Xq0.从中抽取一个样本123x2f(x)=q3096设总体X具有概率密度0x0,求q的矩估计量. laxa-1e-lx,f(x;l)=0,97设总体X具有概率密度为ax0,x0a0,其中l0是未知参数，是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本(X1,X2,L,Xn)，求l的极大似然估计. 98设总体X服从几何分布 k-1P(X=k)=p(1-p),k=1,2,L,0p02=(q)2D(qqqq103设是参数的无偏估计量,且有,试证不是q的无偏估计量. 2XN(m,s),X1,X2,X3是来自X的样本,试证：估计量104设总体1=m1111151313=X1+X2+X32=X1+X2+X3mX1+X2+X3m36234125102; 都是m的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效. 1n(Xi-m)22105已知总体X的数学期望E(X)=m,试证：统计量ni=1是总体方差s的无偏估计. =maxXqi(X,X,L,X)U(0,q)1inn是取自均匀分布106设12的总体X的一个样本.试证是q的一致估计.
