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1、概率论与数理统计第二章补充题第二章 随机变量及其分布 一、问答题 1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？ 2、随机变量的分布函数有什么意义？ 3、连续型随机变量的f(x)dx与离散型随机变量的pk在概率中的意义是否相同？ 4、为什么PX=a=0不能说明X=a是不可能事件？ 5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？ 二、选择题 1、下列函数中可以作为随机变量的分布函数是 。 、 F(x)=131F(x)=+arctanx 、 21+x42px0,0,2 、 F(x)=x 、 F(x)=1+arctanx p,x0.1+x2、设随机变量XN(m,s2),则概率P(X1+m)
2、 。 、 随m的增加而变大 、随m的增加而减少 、 随s的增加而不变 、随s的增加而减少 3、设随机变量XN(m,s2),m0,x为)X的密度函数，有 。 、faf(a)- 、faf=(a)- 、faf+(a-)1=4、设F1(x),F2(x)为随机变量的分布函数，密度函数分别是f1(x),f2(x),则 。 、f1(x)+f2(x)是密度函数 、f1(x)f2(x)是密度函数 、对任何满足a+b=1的实数a、b,af1(x)+bf2(x)是密度函数 、F1(x)F2(x)是分布函数 5、设随机变量X服从指数分布，Y=minX,2,则随机变量Y的分布函数是 。 、是连续函数 、恰有一个间断点
3、、是阶梯函数 、至少有两个间断点 6、设随机变量X的密度函数是f(x),且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a有 。 1 、 F(-a)=1- 、 xf(x)dxF(-a)=-f(x)d200aa、 F(-a)=F(a ) 、 F(-a)=2F(a)- 17、下列命题正确的是 。 、连续型随机变量的密度函数是连续函数 、连续型随机变量的密度函数f(x)满足0f(x)1 、连续型随机变量的分布函数是连续函数 、两个概率密度函数的乘积仍是密度函数 8、设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，则为使下列结果正确的是_ F(x)=aF1(x)-bF2(x)
4、是某随机变量的分布函数，3222、 a=,b=- 、 a=,b=- 55331313 、 a=-,b= 、 a=-,b=-2222 三、填空题 1、随机变量X的分布函数F(x)是事件2、函数f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是 的概率，其定义域为1），2） ，Y=2X+13、随机变量X服从上的均匀分布，则PX21=4、随机变量X的分布律为的分布函数G(y)=5、随机变量X的分布律为的分布律为_ 6、设离散型随机变量X的分布律为PX=k=Y=sinXP-1111，则X的分布函数F(x)=22XP012131，则X2的分布律为_,2X+121051,k=1,2,L，则随机变量k2p
5、2X的分布律为 ax+b,0x=,则280,其它a=_ b=_ 8、设离散型随机变量X的分布律为c=( ). 9、设随机变量X的概率密度函数为 k=1, 2, 3,，则， 则P(0X3/4)=( )110、随机变量Xb(10,)，则P，PX1= X=0=3a、系数A; 、P(0.30.7);、 概率密度f(x). 2x0x1|x|1，试求：1）、常数A的值；2）、随机变量Y=ln|X|的密度函数. ax20x1|X2 1-x9、已知随机变量X的概率密度函数为fX(x)=e,-x0, X0。10、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的
6、命中率分别为0.7和0.8。记Y表示二人投篮的总次数。求Y的分布律；问谁先投中的可能性大？ 11、假设随机变量X的绝对值不大于1，PX=-1=11；PX=1=；在事件84“|X|1”发生的条件下，X在内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数. 12、假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为1/5的指数分布。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布函数。 第二章 随机变量及其分布答案 一、问答题 1、答：随机变量是在随机试验的样本空间S上，对每一个eS，给予一个实数X与之对应而得到的一个实值单值函
7、数。从定义可以认识到：普通函数的取值是按一定法则给定的，而 随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间。这两点是二者的主要区别。 引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。 2、答：分布函数F(x)=PXx给出了随机变量X的取值不大于实数x的概率，而X在任意区间x1Xx2上的概率也可用分布函数表出，即Px1Xx2=F(x2)-F(x1)。因此分布函数完
8、整地描述了随机变量的统计规律性。 另一方面，分布函数是一个普通函数，因此可以用高等数学课程中的理论和方法加以研究和分析，认识问题。概率论与数理统计就是通过随机变量和分布函数两个工具来全面研究认识随机现象的统计规律性的。 3、答：相同。在离散型随机变量X中，随机变量X的取值点是离散的点，pk是X取某一xk时的概率。而在连续型随机变量X时，X取某一x时的概率为零；在小区间x,x+dx上的概率为P=x+dxxf(t)dt，由定积分中值定理有Pf(x)dx。当对连续型随机变量离散化时，f(x)dx与pk的意义是相同的，同样描述了随机变量的分布情况。 4、答：因为，若PX=a=0，则有两种可能。对离散型
9、随机变量，PX=a=0时，X=a必然是不可能事件，但是，对连续型随机变量，任一点上的概率都等于零，这由PxXx+dxf(x)dx，当dx0时，P0可以得知，所以PX=a=0不能说明X=a是不可能事件 5、答：否，可以相同。 -1投中1投中例如，进行投篮试验时，可以令X1=，或X2=，X1与1没中-1没中X2是两个不同的随机变量，表现为对应法则的不同。但是它们有相同的分x-1布函数F(x)=01-1x1 21x1二、选择题 1、答案：C 2、答案：D 3、答案：A 5、答案：B 6、答案：B 7、答案：C 三、填空题 1、答：Xx，(-,+) 2、答：f(x)0,+-f(t)dt=1 3、答：P
10、X21=12x-1y4、答：F(x)=01-1x1，G(y)=0-121-1y3 1x121x35、答：X201134P12X+11352105，P1312105 6、答：Y-101p218153157、答：a=1,b=12 8、答：c=(0.5). 9、答： P(0X3/4)=( 1/2 ). 10、答：(23)10,1-(23)10 11、答：a=1,F(2.5)=25 12、答：b=6或b=3/2 13、答：2e-2,3e-2 4、答案：D 8、答案：A 14、答：PXa=F(a-0)F(a)-F(a-0)F(b)-F(a)，PXa=F(a)， PX=a=PaXb=，PaXb= F(b-
11、0)-F(a) 四、计算题 1、解: 根据概率函数的性质有 Px=-1+Px=0+Px=1+Px=2=1 即1357+=1 2c4c8c16c得c=13578+12+10+737+=2.3125 248161616设事件A为1, B为0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则 Px1|x0=P(AB)Px1x0=P(B)Px0)1. Px=-182=0.32Px=-1+Px=1+Px=215725+28162、解: Px0.5=j(x)dx=0dx+2xdx=x2|=0.52-02=0.25, -000,500.50.5因为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P=0.5=0, 求F
12、(x): 当x0时, F(x)=0 当0x1时, F(x)=j(t)dt=0dt+2tdt=t2|=x2 -00x0xx当x1时, F(x)=1 0综上所述, 最后得:F(x)=x21x00x1 x13、解: 因是连续型随机变量, 因此F(x)必是连续曲线, 则F(1-0)=F(1+0) 因此A12=1, 即A=1. 则分布函数为 0F(x)=x21x00x1 x1P(0.30.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4 概率密度f(x)为 2 x 0 x 1 f ( x ) = F ( x ) = 0 其它 11133=1-=4、解：PX=12xdx=x
13、2|1 Yb 14244223127PY=2=C= 44642323PY1=1-PY=0=1-C4030631= 64422+1213=k= 143k=0931-935、解：PY=0=PX=2k+1=k=0k=0+32k+1PY=2=1-PY=0=1 4Ypk0340231FY(y)=44，1y00y2 y26、解：1)、因为F(x)是随机变量X的分布函数且连续，因此0Y=F(X)1且单调不减，所以存在反函数，有X=F-1(Y) 当0y1时， FY(y)=PYy=PF(X)y=PXF-1(y)=FF-1(y)=y 因此fY(y)=1, 其它fY(y)=0 10y1所以fY(y)= 0其它2）、
14、因0F(X)1且单调，所以-lnF(X)0且单调，故0-2lnF(X)+且单调，当0z+时， zFZ(z)=PZz=P-2lnYz=PlnY-2 =PYe=1-PY0 其它x=-1x-7、解：1）、-1A+AAAdx=dx+dx=-x21x2-x2x+-Axx+x=1=A+A=2A=1 所以A=1 22）、因为|X|1,所以Y=ln|X|0 当y0时， FY(y)=PYy=P0ln|X|y=P1|X|ey=P-eyX-1+P10 其它111yy e+e=y2y2y2(-e)2(e)e8、解：a=+3(由f(x)dx=1) -80x3F(x)=81x00x2 x233P11|X= =33227P
15、XF221xe,x0,29、解： fX(x)= 1e-x,x0.2x当x0时，FX(x)=当x0时，FX(x)=-xfX(x)dx=1x1xedx=e 22-0xx-111fX(x)dx=exdx+e-xdx=1-e-x 222-01xe,x0)=1-FX(0)=, 22y-10,-111于是Y的分布律为Y11，分布函数为FY(y)=,-1y1 222y11,10、解：PY=1=0.7 PY=2=0.30.8 PY=3=0.30.20.7 PY=4=0.320.20.8 分布律：PY=2k=0.3k0.2k-10.8PY=2k-1=0.30.20.7k-1k-1k=1,2,. 0.7=0.74
16、47 1-0.06P甲先投中=PY=2k-1=(0.3k-10.2k-10.7)=k=1k=1P乙先投中=PY=2k=(0.3k0.2k-10.8)=k=1k=10.24=0.2553 1-0.06甲先投中的可能性大 11、解：当x-1 x=-1 x1F(x)=0 F(-1)=1 8F(x)=1 1 2-1x1 P-1Xx|-1X1=k(x+1) 当x=1k(1+1)=1k= P-1Xx|-1X1= P-1Xx=P-1Xxx+1= P-1X12x+1115(x+1) 1-=2841615(x+1)5x+7+= 81616F(x)=PXx=PX=-1+P-1Xy)=1-P(Xy,2y) 1-e-5x,x0,又XFX(x)= x0.1,因此当y2时，P(Xy,2y)=0，即FY(y)=1; 当yy,2y)=P(Xy)， 1-e-5y,y0, FY(y)=1 -PX(y=)PX(y=)0,y0.y2,1,-5y故 FY(y)=1-e,0y2, 0,y0.
