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1、概率论与测度论之间联系的通俗解释测度论是概率论的理论基础，所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。 概率是要度量“事件发生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全体”，对应到测度论就是“集合系”。“事件发生的可能性”是对事件的一种度量，对应到测度论就是“集合的测度”。 不是每个事件都可以定义其概率的，对应的就是不是每个集合都可以定义测度，可以定义测度集合就是可测集。同时，事件必然要涉及到事件的组合运算，对应的就是集合的交、并、差、余、极限的运算到复杂集合，所以又需要保证做可列次这些运算不能超出全体范围 那么什么样的集合系，才能保证其中的集合是可测集呢？测度论中
2、讲了，只要集合系是-代数就可以了。-代数的基本定义是：1. 全集在里面；2. 里面每个集合的余集在里面；3. 里面任意可列个集合的并集在里面。有了这三条基本定义，就可以推出：空集、可列次交、并、差、上限集、下限集运算之后都能在里面。就满足需要了。 所以，集合X+该集合上的一个-代数F，就是一个可测空间了，即可以定义测度的空间）。进一步再定义了测度，那么就是测度空间。 对应到概率论中，样本空间，事件域F，概率测度P，放一起就是概率测度空间。概率测度P是满足特殊要求的一种测度：P()=1. BorelFeild就是Borel -代数，表示实数轴上的-代数，可由实轴上的所有开集生成，也可由实数轴上所
3、有的(-,a这样的区间生成，是相等的。按-代数前面说的，实数轴上开集、闭集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、极限集的运算，都超不出该Borel -代数的范围。 Borel -代数有什么用？其实概率论中的随机变量，对应测度论中的可测函数，而可测函数就是从可测空间的可测映射：即Br中的任一集合在该映射下的原像都属于F。 再说说随机变量，前面说了概率论中要用集合表示事件，但事件五花八门，怎么统一用一种简单的集合表示呢？这就用到映射的概念，建立一种从样本空间到实数轴的映射就可以了，这种映射就是随机变量。有了它，基本事件映射到实数轴上就是的基本区间，基本事件经过运算生成的复杂事件，映射到实数
4、轴上就是实数轴上Borel -代数中的集合。 因为有了这个对应关系，要度量“事件发生的可能性的大小”，只要度量“实数轴上Borel -代数中的集合”就可以了。 所以，随机变量的测度论语言定义是这样的：设为概率测度空间，若对实数轴上Borel -代数中的任一集合B，都有 w: X(w) B F，则称X(w)为随机变量。 总之，随机变量就是建立了“随机事件”到“实数轴上Borel -代数”的一种对应，并且保证了建立了这种对应的随机事件都是可以定义概率测度的。 既然随机事件w: x(w) B属于F，那么可以有概率，即Pw: x(w) B是有意义的，为了简单，概率中就记Pw: X(w)B = PX B 了。 特别地，若取B=(-,x), 则事件XB的概率 PXB = PXx := F(x) 就定义成随机变量X的分布函数。因为对任意的区间(a,b,都可表示成 PX (a,b = PaXb = PXb - PXa = F(b)-F(a) 进而，由这样的区间经过至多可列次交、并、差运算的复杂的实数轴上的Borel集都可以用F(x)给出其概率。 当然，随机变量也可以定义为从样本空间到平面R2上的映射，就是二元随机变量。
