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1、1.特征值与特征向量的概念与计算 2.特征值与特征向量的性质,5.1 矩阵的特征值与特征向量,定义5.1.1 设A是n阶复(实)矩阵,若为复(实)数,0是一复(实)n维向量,使得,A(0)，,则称为A的特征值,为A的属于的特征向量.,1 只有方阵才有特征值和特征向量;,2 特征向量是非零向量.,说明：,1.特征值与特征向量的概念与计算,定义5.1.2 设A是n阶矩阵,的多项式,I A,称为A的特征多项式,并记为 fA I A.,fA I A=0称为A的特征方程,特征方程的 根即为A的特征值.I A称为A的特征矩阵。,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,定义 对方程 f x 0,若有x*使得f x*
2、0,则称 x*为方程 f x 0的根或函数f x的零点.特别是,如果函数f x能写成 f x x x*m gx且gx*0,m 1,则称x*为f x 0的m重根,或为f x 0的m重 零点.一重根m 1通常称为单根.,例1 设,求A的特征值与特征向量,解,得基础解系为：,例2,解,例3 证明：若 是矩阵 A的特征值，是 A的属于的特征向量，则m必为Am的特征值，这里m为正整数.,证明,比例3更一般的结论：,若 是矩阵 A的特征值，是 A的属于的特征向 量，gx=asxs+as1xs1+a1x+a0 为任一 多项式，试用特征值定义证明：g 是矩阵多项 式gA=asAs+as1As1+a1A+a0I
3、的特征 值，仍是gA 的属于g 的特征向量。,例4 设 A是 n 阶方阵，其特征多项式为,解,说明:,但特征向量不一定相同。,特别地:对角矩阵,它们的特征值均为主对角元 a11,a22,ann.,三角形矩阵,2.特征值与特征向量的性质,性质1 设 A aij是n阶矩阵，则,性质2 n阶矩阵设 A有且仅有n个特征值,其中 m重特征值以m个计.,性质3 设1,2,n为 A的n个特征值(i未必互异),则,3 A不可逆 A 0 A有零特征值.,2 A可逆 A 0 A的特征值均非零;,且若为可逆矩阵A的特征值,则1为A1的特征值.,且 AX 0的基础解系即为属于零特征值的线性无关 的特征向量.,注:,1
4、 可用此性质验证所求的特征值是否正确;,定义 称特征子空间V0的维数dimV0为0的几何重数.,性质5 设0为A的m重特征值,则dimV0 m.,即特征值的几何重数不超过其代数重数.,特别地:m 1时,dimV0 1.,dimV0nr0I A 0对应的线性无关的特征向量的个数,注意,特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，,一个特征值具有的特征向量不唯一；,但一个特征向量不能属于不同的特征值,1.矩阵的对角化,5.2 矩阵的对角化,定义5.2.1 设A,B为两个n阶矩阵.若有可逆矩阵 P,使得P 1AP B.则称A与B 相似，记作AB.,注：矩阵相似关系满足:,(1)反身性:AA;,(2)对称性
5、:若A B则B A;,(3)传递性:若A B,B C,则A C.,相似变换矩阵。,1.矩阵的对角化,2 AB,A与B 均为n阶方阵,性质5.2.1,证明,定义：如果矩阵A相似于对角矩阵,就称A可对角化.,P 1AP diag1,2,n.,矩阵P称为将A对角化的变换矩阵,P的每一列是A 的特征向量,而对角矩阵的主对角元恰为A的特征值.,A的n个线性无关的特征向量1,2,n所组成 的矩阵就是变换矩阵 P,但要注意1,2,n的 排列顺序必须与1,2,n的排列顺序相对应.,推论5.2.1如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 必可对角化，反之不一定成立。,，A能否对角化？,例5,解,若能对角化，,得基础解系即线性无关的特征向量为,所以 可对角化。,注意,即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,矩阵可对角化的应用,见P82 例5.2.3,思考题,思考题答案：6或,
