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1、模糊矩阵模糊矩阵 定义 2-8 设R=(rij)mn，l0,1，记Rl=rij(l)()mn 1rijl其中 rij(l)= 0rlij则称Rl为R的l截矩阵。 l截矩阵Rl表示l截关系，即(u,v)UV，有 Rl(u,v)=1R(u,v)ll0,1 截矩阵必然是布尔矩阵。 例 2-9 如例2-8所示的模糊矩阵，若取l=0.9，则 101 R=010000定义 2-9 设QF(UV)，RF(VW)。Q对R的合成是从U到W的一个模糊关系，记为QoR。它的关系程度是 (QoR)(u,w)=(Q(u,v)R(v,w) vV当RF(UU)，记 R2=RoR, Rn=Rn-1oR 二、几种重要特性 1、
2、对称性 定义 2-10 设R=(rij)mmn，则称RT=(rji)mnm为R的转D置矩阵。其中rji=rijT。若RT=R，则称R为对称矩阵。 定义 2-11 设RF(UV)，而RTF(VU)，则RT称为R的转置关系，即 (v,u)VU，RT(v,u)=R(u,v) 定义 2-12 设(u,v)UU，RT(u,v)=R(u,v)，则称R具有对称性。 可见， R是对称关系R(v,u)=R(u,v) 2、自反性 定义 2-13 若(u,v)UU，R(u,u)=1，则称R为U上的自反关系；若R=(rij)nn且rii=1，则称R为自反矩阵。 定义 2-14 若(u,v)UU，有 1u=v I(u,
3、v)=0uv则称I为恒等关系。 由定义2-13和定义2-14可见， R是自反关系RI 3、传递性 定义 2-15 设RF(UU)，l0,1，如果 R(u,v)l且R(v,w)l，则R(u,w)l 那么称R是传递模糊关系。 定理 2-3 R是传递的模糊关系的充要条件是RR2。 证 必要性 u,wU，v0U，取l=R(u,v0)R(v0,w) 则有 R(u,v0)l，R(v0,w)l 由传递性的定义得 R(u,w)l 则 R(u,w)R(u,v0)R(v0,w)=l 因为是v0任意的，得 R(u,w)(R(u,v)R(v,w) vU则按模糊关系的合成定义得 RR2 充分性 由RR2得 R(u,w)
4、vU(R(u,v)R(v,w) 所以 R(u,w)(R(u,v)R(v,w) 当R(u,v)l，R(v,w)l时，有R(u,w)l 由传递性的定义知：R是传递的模糊关系。 证毕。 定义 2-16 设RF(UU)，如果 是传递模糊关系且RR； R。 Q是任意传递模糊关系且QR和QR为R的传递闭包，记t(R)=R。 则称R可见传递闭包是所有包含R的最小的传递关系。 三、 模糊相似关系和等价关系 定义 2-17 设RF(UU)，如果具有自反和对称关系，则R称为U上的一个模糊相似关系。 定义 2-18 设RF(UU)，如果满足： 自反性 R(u,u)=1； 对称性 RT=R或R(u,v)=R(v,u)
5、； 传递性 RR2或按传递定义。 则称R称为U上的一个等价关系。 定理 2-4 相似矩阵Rmnn的传递闭包是等价矩阵，且=Rn。 R证 要证明相似矩阵R的传递闭是等价矩阵，只须证R是自反的、对称的。 包R因为R是自反的，所以RI，得R2R，RnRn-1，则k=1nnURk=Rn=URk为R的传递闭包，。又有R则Rk=1是=RnI。即R自反的。 因为是R对称的，得R=RT。又因为(Rn)=(RT)=Rn，故是对称的。 R是等价矩阵。 综上所述，R定理 2-5 设Rmnn是自反矩阵，则任意自然数mn，=Rm。 都有R通过定理4可知从一个模糊相似矩阵R通过求传递闭包，可构造一个模糊等价矩阵，并且运算有限次，R即不超过次n。为了提高运算速度，定理2-5给出了求传递闭包的一种简捷方式，即平方法： TnRR2R2()2 LR2=Rk令2kn，故klog2n。 用此平方法至多log2n+1步，便可求得传递闭包。
