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1、正交变换和正交矩阵7.3正交变换和正交矩阵 授课题目：7.3正交变换和正交矩阵 教学目标： 理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系 授课时数：3学时 教学重点：正交变换的性质 教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质 教学过程： 一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。 设a1,a2,L,an是n维欧氏空间的两个标准正交基，） (b1,b2,L,bn)=(a1,a2,L,an)U U1iU2i=bi=(a1,L,an)MUninUk=1kiak1Qb1,Lbn是标准正交基，有=0nnkii=jij又Q=k=1则=Uk=1i=1nUljUk=1nk=1kiUkj1=0i=jij(i
2、,j=1,2,L,n)QUkiUkjT从而UU=I定义7.3.1 设U是实数域上的n阶矩阵, 如果 UU=UUTT=I, 则称U为正交矩阵. 定理7.3.1 设在n维欧氏空间中由标准正交基a1,a2,L,an对基b1,b2,L,bn的过渡矩阵是U, 那么b1,b2,L,bn是标准正交基的充分必要条件是U为正交矩阵. 证明: 必要性已证. 现证充分性. 设U为正交矩阵, 则UU=UUb1,b2,L,bn是标准正交基. TT=I成立, 从而例1：证明每一个n阶可逆矩阵A都可以唯一表成A=UT的形式，这里U是一个正交矩阵，T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。 证明：存在性，由于A为n阶非奇异实矩阵
3、，故A=(a1,a2,L,an)的列向量a1,a2,L,an线性无关，从而为Rn的一个基，实行单位化 b1=t11a1b2=t12a1+t22a2LLLLLLLL令 bn=t1na1+t2na2+L+tnnan其中tii0,i=1,1,L,n,都有=(a1,a2,L,an)其中b1,b2,L,bn为R的标准正交基，而t110=M0t12t22M0LLLt1nt2nMtnnn-1T-1从而T也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于b1,L,bn是标准正交基，故有U=(b1,b2,L,bn)是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有A=U1T1其中U1为正交矩阵，T1为对角线上全是正实数的上三
4、角形矩阵，则 UT=U1T1或U-1O1=TT-1-1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT 故 T=T1,U=U1 =I 思考题 设a1,a2,a3是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合s(a1)=b1=s(a2)=b2=2323a1+a1-2313a2-a2+1323a3 a3 练习 设V是一个欧氏空间, aV是一个非零向量,对于 xV, 规定V的一个变换 2x,at(x)=x-a,aa 证明:是V的一个正交变换,且 t2=i,是单位变换. 例2：设a1,a2,L,an和b,b2,L,bn是n维欧氏空间V的两个标准正交基。 1 证明，存在V的一个正交变换s，使s(ai)=
5、bi,i=1,2,L,n 如果V的一个正交变换t，使t(ai)=bi那么t(a2),L,t(an)所生成的子空间与b2,L,bn由所生成的子空间重合。 证：一定存在一个变换s使s(ai)=bi,又Qa1,L,an及b1,L,bn为标准正交基，故s为正交变换 ( 2 )证L(t(a2),L,t(an)=L(b2,L,bn)分两步证明xL(t(a2),L,t(an)则nnii先证设x=at(ai=2)=t(aiai)i=2又由xV知x可由b1，b2，L，bn线性表出，令nx=bb,且bii=1i=,i=1,2,L,n又t是正交变换，而t=b1nn故b1=0所以x=bbL(bii=22,b3,L,b
6、n)n 另一放面，若hL(b2,b3,L,bn)则h=ci=2i因为t是正交变换，bi，故t(a),t(a2),L,t(an)是V的一个标准正交基，不妨令 h=d1t(a1)+d2t(a2)+,L,+dnt(an),di=由于t=b1故Nd1=0故h=d2t(a2)+L+dnt(an)L(t(a2),L,t(an) 因而L(b2,b3,L,bn)L(t(a2),t(a3),L,t(an) L(t(a2),Lt(an)L(b2,L,bn) 有U=(b1,b2,L,bn)是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有A=U1T1其中U1为正交矩阵，T1为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则 UT=
7、U1T1或U-1O1=TT-1-1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT 故 T=T1,U=U1 =I 例2：设a1,a2,L,an和b,b2,L,bn是n维欧氏空间V的两个标准正交基。 1 证明，存在V的一个正交变换s，使s(ai)=bi,i=1,2,L,n 如果V的一个正交变换t，使t(ai)=bi那么t(a2),L,t(an)所生成的子空间与b2,L,bn由所生成的子空间重合。 证：一定存在一个变换s使s(ai)=bi,又Qa1,L,an及b1,L,bn为标准正交基，故s为正交变换 证L(t(a2),L,t(an)=L(b2,L,bn)分两步证明先证L(t(a2),Lt(an)L(
8、b2,L,bn) xL(t(a2),L,t(an)则nnii设x=at(ai=2)=t(aiai)i=2又由xV知x可由b1，b2，L，bn线性表出，令nx=bb,且bii=1i=,i=1,2,L,n又t是正交变换，而t=b1nn故b1=0所以x=bbL(bii=22,b3,L,bn)n 另一放面，若hL(b2,b3,L,bn)则h=ci=2i因为t是正交变换，bi，故t(a),t(a2),L,t(an)是V的一个标准正交基，不妨令 h=d1t(a1)+d2t(a2)+,L,+dnt(an),di=由于t=b1故Nd1=0故h=d2t(a2)+L+dnt(an)L(t(a2),L,t(an)
9、因而L(b2,b3,L,bn)L(t(a2),t(a3),L,t(an) 二、正交阵的判断。 定理7.3.2：U是n阶正交矩阵U的行向量组成n维欧式空间Rn的一个标准正交基。 证： 必要性 设U是正交矩阵则有 UTU=I 令U=T a1a2=ManTaa11TaaTTT(a1 a2 an)=21MTana1a1a2a2a2MTTLLTa1anUUTa2anMTana2TLananT在欧氏空间Rn中有aiaTj= i,j=1,2,3, n MLLL=I M故有UUT=M1当i=j故 = i，j=1，2，L，n 0当ij因而a1，a2，an是Rn的标准正交基 充分性 设a1，a2，an是Rn的一个
10、标准正交基，以上过程可逆 有UUT=I，从而U是正交矩阵。 三、正交矩阵的性质 正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵；UUT=I 故 UT-1=UATTT 两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵；(AB)(AB)=ABBT=AA=I 正交矩阵的行列式为1；AAT=I 故AAT=1 A四、正交变换 2=1A=1 1 定义7.3.2：s是欧氏空间V的一个线性变换，如果aV 有 s(a)=a 则称s是V的一个正交变换。 2 正交变换的判断 定理7.3.3 s 是V的一个线性变换，于是以下四个命题等价： s 是V的正交变换； a,bV，有=； 若a1,a2,L,an是V的标准正交基则s(a1),s(a2),
11、L,s(an)也是V的标准正交基； s是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。 证明：用的循回证法来证明， Qs是正交变换a,bV有 s(a+b)=a+b 而 s(a+b)= = +2+ a+b=+2+ Q = , = 2222 故= 10i=jij Q= 故 s(a1)，s(a2)，s(an)是V的标准正交基。 设a1,a2,L,an是V的标准正交基，s关于基的矩阵U为 （s(a1),s(a2),L,s(an)=(a1,a2,Lan)U Qs(a1),s(a2),Ls(an),a1,a2,Lan均为标准正交基 故 U是正交基。 设s是关于标准正交基a1,a2,Lan的矩阵U的正交矩阵， 即
12、 (s(a1),s(a2),L,s(an)=(a1,a2,L,an)U UTU=I Q s(a1)，s(a2) ，s(an)也是标准正交基。 n aV 则有a=x1a1+x2a2+L+xnan=nxaii=1jn = i=1j=1nn =i=1nxaij=12j =xi= i=1 即 a=s(a) 推论1：正交变换保持向量的夹角不变。 q =arccosab=arccoss(a)s(b)=q 注意：逆命题不一定成立。 当V取定了标准基之后，正交变换与正交矩阵是一一对应的。并且保持乘法运算，研究正交变换可归结为研究正交矩阵。 推论2：两正交变换的积仍是正交变换，正交变换的逆变换也是正交变换。 证
13、：设s，t均为正交变换则st(a)=s(t(a)=t(a)=a s-1s(a)=ss-1(a)=s-1(a)=a 3 正交变换的分类 若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为U U=1 时称s为第一类正交变换，并称为旋转； U=-1 时称s为第二类正交变换，并称为反射。 a1,a2,L,an和b1,b2,L,bn是n维欧氏空间V的两个标准正交基， 例：则存在V的一个正交变换s。使s(ai)=bi i=1,2,L,n 证：定义s，xV，有x=x1a1+x2a2+L+xnan s(bx)=x1b1+x2b2+L+xbn 又h=y1a1+y2a2+L+ynan s(h)=y1b1+y2b2+L+ynbn 则s(kx+lh)=(kx1+ly1)b1+(kx2+ly2)b2+L+(kxn+lyn)bn = k(x1b1+x2b2+L+xnbn)+l(y1b1+y2b2+L+ynbn) =ks(x)+ls(h) s是V的一个线性变换， 又 x=x1+2+L+xn222=s(x) s是正交变换，且s(ai)=bi i=1,2,L,n 正交变换类型 二阶正交变换 U1=cosjsinj-sinj U1=1 cosjsinj U2=-1 -cosj U2 cosj=sinj
