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正余弦定理的多种证明方法利用向量统一正、余弦定理的证明 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，1人教版中等职业教育国家规划教材数学是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。 定理：在ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 =； c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A。 证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=、B=，又由任意角三角函数的定义可得： C=，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC，则BAC=-B， C(acos(-B),asin(-B) =C。 根据向量的运算： =， =-=, 由=：得 asin B=bsin A,即 =。 第 1 页 共 2 页 同理可得：=。 =。 (2)由=2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又|=a, a2=b2+c2-2bccos A。 同理： c2=a2+b2-2abcos C； b2=a2+c2-2accos B。 第 2 页 共 2 页
