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1、正余弦定理与三角形形状判断附答案一、运用正弦定理进行判断 基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边之间的关系，进一步判断。 二、运用余弦定理进行判断 基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。 三、运用正、余弦定理综合判断 基本思路：尽量统一边之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。 1、已知在ABC中，b=ccosA，试判断ABC的性状。 Qb=ccosA2b2=2bccosA=b2+c2-a2 a2+b2=c2ABC为直角三角形 2、已知在ABC中，角A、B均为锐
2、角，且cosAsinB，试判断ABC的形状。QcosAsinBcosAcos(p2-B)Ap2-BA+Bp2Cp2ABC为钝角三角形 3、已知在ABC中，b=asinC，且c=asin(p2-B)，试判断ABC的形状。Qc=asin(p2-B)=acosB2c2=2accosB=a2+c2-b2 b2+c2=a2ABC为直角三角形，且sinC=ca Qb=asinCb=cABC为等腰直角三角形 4、已知在ABC中，2sinAcosB=sinC，试判断ABC的性状。 Q2sinAcosB=sinC2acosB=c2accosB=c2=a2+c2-b2a=b1 ABC为等腰三角形 5、已知在ABC
3、中，sinA=2sinBcosC，且sinA=sinB+sinC，试判断ABC的性状。 222Qsin2A=sin2B+sin2Ca=b+c222QsinA=2sinBcosCa=2bcosCa=2abcosC=a+b-cb=cABC为等腰直角三角形 6、已知在ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC，试判断ABC的性状。 2222QsinA=2sinBcosCa=2bcosCa=2abcosC=a+b-cb=cQ(a+b+c)(b+c-a)=3bc(2b+a)(2b-a)=3b2a=bABC为等边三角形 7、已知在ABC中，B=60，且b=ac，试判断A
4、BC的性状。 22222QB=601a2+c2-b2 cosB=22acac=a2+c2-b2=a2+c2-ac(a-c)2=0a=cABC为等边三角形 8、已知在ABC中，B=60，且2b=a+c，试判断ABC的性状。 2 QB=601a2+c2-b2cosB=22ac(a+c)222ac=a+c- 44ac=4a2+4c2-a2-c2-2ac(a-c)2=0a=cABC为等边三角形 9、已知在ABC中，sinAcosBcosC=，试判断ABC的性状。 abcQsinAcosBcosC=abcsinB=cosB，sinC=cosC B=C=p4ABC为等腰直角三角形 10、已知在ABC中，(
5、a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B)，试判断ABC的性状。 Q(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B)(a2-b2)sinC=(a2+b2)(sinAcosB-sinBcosA) (a2-b2)2c2=(a2+b2)(2accosB-2bccosA)(a2-b2)2c2=(a2+b2)(a2+c2-b2)-(b2+c2-a2)(a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2)a2-b2=0或a2+b2=c2 ABC为等腰三角形或直角三角形 11、在ABC中，(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，且bcosA=acosB，试判断
6、ABC的性状。 QbcosA=acosBsinAcosB-sinBcosA=0sin(A-B)=0A=Ba=b 3 Q(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB(2a+c)(2a-c)=3a24a2-c2=3a2a=cABC为等边三角形 12、已知在ABC中，a2tanB=b2tanA，试判断ABC的性状。 Qa2tanB=b2tanAa2bb2cosB=acosAacosBsinAb=cosA=sinB 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2BA=Ba=b或2A+2B=pA+B=p2ABC为等腰三角形或直角三角形 13、已知在ABC中，aA=b=c，试判
7、断ABC的性状。coscosB22cosC2Qa=bcosAB2cos2sinA=sinBcosAB2cos22sinAABB2cos22sincos=2cosAB2 2cos2sinAB2=sin2A=B同理：A=B=C ABC为等边三角形 14、已知在ABC中，cos2A2=b+c2c，试判断ABC的性状。 Qcos2Ab+2=c2ccosA+1b+c 2=2c 4 bb2+c2-a2cosA= c2bca2+b2=c2ABC为直角三角形 15、已知在ABC中，2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，且sinB+sinC=1，试判断ABC的性状。 Q2asinA=(2b+
8、c)sinB+(2c+b)sinC2a2=2b2+bc+2c2+bc-bc=b2+c2-a2cosA=b2+c2-a212bc=-2A=2p3QsinB+sinC=1sinB+sin(p3-B)=1sinB+32cosB-12sinB=1312cosB+2sinB=1 sin(p3+B)=1p3+B=p2B=C=p6ABC为等腰三角形 16、已知在ABC中，sinC=sinA+sinBcosA+cosB，试判断ABC的形状。 QsinC=sinA+sinBcosA+cosB2sinA+BcosA-Bsin(A+B)=2cosA2+B2 2cosA-B22A+BA-B2sinA+B2cosA+Bsin2cos22=2cosA+BA-B2cos25 2(cosA+B2)2-1=0cos(A+B)=0 A+B=p2ABC为直角三角形 17、已知在ABC中，tanA-B2=a-ba+b，试判断ABC的形状。 QtanA-BsinA-sinB2=sinA+sinBsinA-B2cosA+BsinA-BcosA2-B=A+2BA2-22sin2cosB2sinA+B2-cosA+B2=022sinA+B2-22cosA+B2=0 sinA+BpA+B2cos4-cos2sinp4=0sin(A+B2-p4)=0A+Bp2-4=0A+B=p2ABC为直角三角形 6
