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1、正多边形与圆知识点1 正多边形的相关概念 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 正多边形是对称图形。当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 与正多边形有关的概念： a 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心； b 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径； c 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于/n. d
2、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。 例题1 圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 例题2 正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴. 例题3 正n边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。 例题4 正n边形的每个内角是 ，每个中心角是 。 知识点2 正多边形的计算 1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。 2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。 3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n
3、个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n边形的内切圆的半径，它的长是正n边形的边心距。 注：正多边形半径R和边长a、边心距r之间的数量关系式 . R2=r2a+22提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决. 例题5 如图，两相交圆的公共弦AB为23，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。 BAO1O2例1图 例题6 1、如图，O内切于ABC，切点分别为D、E、F，若C900，AD4，BD6，求图中阴影部分的面积。 ADEOCFB第1题图
4、自我检测 一、选择题 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.321 B.432 C.421 D.643 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.62 B.34 C.63 D.434.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( ) A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3 5.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.36 B.34 C.12233
5、 D.336.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 二、填空题 7.若正n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_条对称轴. 8.正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴. 9.中心角是45的正多边形的边数是_. 10.已知ABC的周长为20,ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_. 11.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm. 12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_度. 三、计算题 13.已知O和O上的一点A(如图24-3-1).
6、 (1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是O内接正十二边形的一边. 图24-3-1 14.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 图24-3-2 15.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数. 16.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 图24-3-3 17.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价). 图24-3-4 18.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n)，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON. 图24-3-6 (1)求图24-3-6(1)中MON的度数； (2)图24-3-6(2)中MON的度数是_，图24-3-6(3)中MON的度数是_； (3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
