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1、正弦定理必背公式1.1 正弦定理 ABC1在ABC中，ABC，. 2222ab2在RtABC中，C，则sin_A，sin_B. 2cc3一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 abc4正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，sin Asin Bsin C这个比值是三角形外接圆的直径2R. 1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角 2已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较
2、复杂，可能无解，可能一解或两解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况. bsin A absin A absin A ab ab 或钝角 无解 一解(锐角) abc1正弦定理：2R的常见变形： sin Asin Bsin C(1)sin Asin Bsin Cabc； abcabc(2)2R； sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C(3)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C； abc(4)sin A，sin B，sin C. 2R2R2R1112三角形面积公式：Sabsin Cbcsin Acasin B. 2221在ABC中，有以下结论： (1
3、)ABC； (2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C； ABC(3)； 222ABABABCC1(4)sin cos ，cos sin ，tan . 22222Ctan 21.2 余弦定理 1余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的222222222积的两倍即abc2bccos_A，bca2cacos_B，cab2abcos_C. 2余弦定理的推论 222222222bcacababccos A；cos B；cos C. 2bc2ca2ab3在ABC中： (1)若a2b2c20，则C90； (2)若c2a2b2ab，则C60； 222
4、(3)若cab2ab，则C135. 1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形 (2)已知三边求三角形的任意一角 2余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例 2余弦定理及其推论 222(1)abc2bccos_A. b2c2a2(2)cos A. 2bc(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角 3在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有： ABC(1)ABC，. 222(2)sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C. ABA
5、BCC(3)sin cos ，cos sin . 22221解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 由ABC180，求角A； 一边和两角 由正弦定理求出b与c.在有 正弦定理 (如a，B，C) 解时只有一解 由余弦定理求第三边c；由正两边和夹角 (如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一 角在有解时只有一解 由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出 角C.在有一解时只有一解. 由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解. 三边 (a，b，c) 两边和其中一边的对角如 (a，b，A) 余弦定理 余弦定理 正弦定理 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换
