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1、正弦函数和余弦函数的图像与最值第六章 三角函数的图像与性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 课 题：6.1-1-正弦函数和余弦函数的图像与最值(2课时) 第一课时： 教学目标： 1. 掌握正弦函数和余弦函数的定义，能够用正弦函数线作正弦函数图像，掌握五点法作正弦函数和余弦函数图像；掌握正弦函数和余弦函数的定义域、值域和最值。 2. 在作图的过程中，进一步理解正弦函数和余弦函数的定义；领悟用函数图像研究函数性质的方法。 3. 巩固数形结合思想。 教学重点：正弦函数和余弦函数的定义、图像和最值 教学难点：用正弦函数线作正弦函数图像 教学过程： 复习：(1) 函数概念；(2) 弧度制；(3)三
2、角函数线。 正弦函数和余弦函数的定义： 对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数叫做正弦函数，表示为ysinx，xR。 对任意一个实数x都有唯一确定的值cosx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数叫做余弦函数，表示为ycosx，xR。 对概念的理解： (1)正弦函数和余弦函数的定义域为R；(2) 正弦函数和余弦函数的值域为1，1。 用正弦函数线作正弦函数图，教师讲解。 先作ysinx，x0,2的图像，再利用函数周期性作其它区间的图像。 思考：作正弦函数图像的关键点有哪些？ 对于函数ysinx，x0,2而言，(0,0)、(,1)、(,0)、(2p3p2,1
3、)和(2,0)是作图的关键点。五点法作图 练习：利用五点法作出ysinx，x0,2的图像。 注意：可以用五点法作图，也可以用图像变换的方法作图！应该启发学生。 思考：如何作余弦函数的图像？ 由cosxsin (x)知：将ysinx图像左移即可得到ycosx图像！ 22pp思考：能否用五点法作余弦函数图像？ (0, 1)、(,0)、(,1)、(2p3p2,0)和(2, 1)是余弦函数图像的五个关键点。 练习：(1)利用五点法作出ycos x，x,的图像。 - 数学小屋 第六章 三角函数的图像与性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 (2)利用五点法作出ycos (x)，x0,2的图像。 4p
4、思考：为什么要作函数图像？数形结合，研究函数性质。 正弦函数的最大值与最小值： (1) 当sinx1，即x2kp2(kZ)时，ymax1； p2(2) 当sinx1，即x2k(kZ)时，ymax1。 余弦函数的最大值与最小值：让学生研究得出结论。 (1) 当cosx1，即x2k(kZ)时，ymax1； (2) 当cosx1，即x2k(kZ)时，ymax1。 例1 求下列函数的定义域。 (1) y12sinx112p6解：2sinx10，即sinx，则x2kp6且x2k5p65p6(kZ) 所求函数的定义域为x| x2k且x2k(2) y2cosx 解：cosx0，则x2k，2k2pp2，kZ
5、，kZ 例2 求下列函数的值域。 (1) y2sinx3 解：1sinx1 52 sinx31，则所求函数的值域为5，1 2(2) ysinxsinx2 解：ysin2xsinx2(sinx12) 2 41291sinx1 当sinx则所求函数的值域为(3) ycosx4cosx2 2时，ymin94；当sinx1时，ymax0。 94，0 解：ycos2x4cosx2(cos x2) 26 1cosx1 当cosx1时，ymin5；当cosx1时，ymax3。 - 数学小屋 第六章 三角函数的图像与性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 则所求函数的值域为5，3 例3 写出下列函数取到最
6、大值与最小值时的x值。 (1) ycos (x) 4p解： 当cos (x)1，即x44ppp42k，得x2k(kZ)时，ymax1； 4p45p4p 当cos (x)1，即x2k，得x2k(2) y5sin2x 解： 当sin2x1，即2x2kp2p2(kZ)时，ymin1。 ，得xk(kZ)时，ymax5； 4p4p 当sin2x1即2x2k，得xk(kZ)时，ymin5。 课堂小结： 1、数学知识：(1) 正、余弦函数的定义与图像；(2) 五点法作图；(3) 正、余弦函数最值。 2、数学思想方法：数形结合。 作业：练习册P.35-习题6.1- A组-15，B组-1 一课一练P.56-17
7、 - 数学小屋 第六章 三角函数的图像与性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 第二课时： 教学目标： 1. 进一步掌握正弦函数和余弦函数的定义域、值域和最值。 2. 会利用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，进一步领悟用函数图像研究函数性质的方法。 3. 巩固数形结合思想。 教学重点：求有关正弦函数和余弦函数的定义域、值域和最值 教学难点：求有关正弦函数和余弦函数的定义域、值域和最值 教学过程： 复习：(1) 正弦函数和余弦函数的概念；(2) 正弦函数和余弦函数的。 头脑体操： 1、利用五点法作出下列函数的图像： (1) y1sin x，x0，2；(2) ycos x，x，。 2、求下列函
8、数的定义域： (1) y12cosx1 定义域为x| x2k且x2k6p11p6，kZ (2) y2sinx 3、求下列函数的值域： (1) y12cosx 定义域为2k，2k，kZ 函数的值域为1，3 函数的值域为94(2) ysin2xsinx2 ，0 例1 求下列函数的定义域： (1) ysinx16x2 解：由sinx0，得x2k，2k，kZ 由16x20，得x4，4 则所求函数的定义域为4，0， 可用数轴求交集 (2) ylg (2sinx1) 解：由2sinx10，得sinx则函数的定义域为，kZ 第六章 三角函数的图像与性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 解：2sinx1
9、0，即sinx12，得x2kp2p2p6，2kp27p6，kZ 2cosx0，即cosx0，得x2k则所求函数的定义域为2k p6p3，2k，kZ ，2k，kZ 可用单位圆求交集 例2 求函数y2sin(3x)的最大值和最小值，并求使其取得最大值、最小值的x的集合。 解： 当sin(3xp3)1，即3x2k3pp2，得xp182kp3p18(kZ)时，ymax2 则使函数取得最大值的x的集合为x|x 当sin(3xp32kp3，kZ 5p18)1，即3x2k3pp2，得x2kp32kp3(kZ)时，ymni2。 则使函数取得最小值的x的集合为x|x变式：ysinxcosx呢？ 解：ysin2x
10、cos2x2sin(2x 当sin(2x 当sin(2xp4p4p4p45p18，kZ ) p2)1，即2x2kp4，得xk(kZ)时，ymax2 8p2p)1，即2x2k，得xk3p8(kZ)时，ymax2 例3 求下列函数的值域： (1) y2sinx 解：1sinx1 2sinx2，则所求函数的值域为，2 2211(2) y3sinxcosx 解：y3sinxcosx2 (1sin(xp632sinx12cosx)2 (sinxcoscosxsin6pp6)2sin(xp6) )1 所求函数的值域为2，2 例4 教材P.85-例3 - 数学小屋 第六章 三角函数的图像与性质 6.1正弦函
11、数和余弦函数的图像与性质 解题关键：建立函数关系式：周长C2 (ab) (sincos)22(ab) sin(注意自变量的取值范围：(0，)，得2pp4p4) (p4，3p4) 则 p4p2，即p4时，周长最长为22(ab) 课堂小结： 1、数学知识：(1) 正、余弦函数的定义与图像；(2) 五点法作图；(3) 正、余弦函数最值。 2、数学思想方法：数形结合。 作业： 1、利用五点法作出下列函数的图像： (1) y1sin x，x0，2；(2) ycos (x)，x0，2。 4p2、求下列函数的定义域：(1) y12sinx2；(2) ycosx16x2； (3) ylg (2cosx1) 3、求下列函数的值域：(1) ycosx；(2) ysinxcos2x；(3) ysinx3cosx 314、求函数y3cos (2x)的最大值和最小值，并求使其取得最值时的x的集合。 4p5、一课一练P.57-8 - 数学小屋
