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1、正弦定理和余弦定理知识点及典型例题正弦定理和余弦定理要点梳理 1正弦定理 其中R是 abc=2RsinAsinBsinC三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为： (1)abcsin Asin Bsin C； (2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； abc(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题 2R2R2R2三角形面积公式 111abc1SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 2224R23余弦定理： a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b
2、22abcos C. 余弦定理可以变形为： b2+c2-a2cos A2bca2+c2-b2，cos B2aca2+b2-c2，cos C2ab. 4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2)已知两边及一边的对角，求其它边或角 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； (2)已知三边问题 基础自测 21在ABC中，若b1，c3，C，则a . 32已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2，b6，B120，则a_. 93在ABC中，若AB5，AC5，且cos
3、 C，则BC_ . 104已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc162，则三角形的面积为( ) A22 B82 C.2 D.题型分类 深度剖析 题型一 利用正弦定理求解三角形 例1 在ABC中，a3，b2，B45.求角A、C和边c. 第 1 页 2 2变式训练1 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b3，AC2B，则A 题型二 利用余弦定理求解三角形 cos B-例2 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Cb. 2a+c求角B的大小； (2)若b13，ac4，求ABC的面积 A+cos A=0. 变式训练2已知A、B、C
4、为ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos22(1)求角A的值； (2)若a23，bc4，求ABC的面积 题型三 正、余弦定理的综合应用 例3. 在ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边已知22(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB, ABC 外接圆半径为2. 求角C的大小； 求ABC 面积的最大值. 变式训练3在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. (1)若c2，C，且ABC的面积为3，求a，b的值； 3(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状 1例4设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosCcb. 2(1)求角A的大小； (2)若a1，求ABC的周长l的取值范围 第 2 页
