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1、正弦定理余弦定理基础练习正弦定理、余弦定理 基础练习 1在ABC中： 已知A=45、B=30、a=53，求b； 已知B=75、C=45、a=6，求c 2在ABC中： 已知b=15、c7、B60，求C； 已知a=6、b7、A50，求B 3在ABC中： 已知a5、b7、C120，求c； 已知b=33、c7、A30，求a 4在ABC中： 已知a=6、b7、c=9，求A； 已知a=33、b=4、c=79，求C 5根据下列条件解三角形： A=37，B=60，a=5； A=40，B=45，c=7； B=49，a=5，b=3； C20 ，a5，c3； a=4，b=7，C=80； a=10，b=13，c=14
2、 6选择题： 在ABC中，下面等式成立的是 AabcosC=bccosA BabsinC=bcsinA CacosC=ccosA DacosA=bcosB 三角形三边之比为357，则这个三角形的最大角是 A60 B120 C135 D150 在ABC中，b+c=2+1，C=45，B30，则 Ab=1，c=2 Bb=2，c=1 Cb=2222，c=1+ Db=1+，c= 2222 在ABC中B=45、c=52、b=5，则a= A52 B53 C5 D10 7填空题： ABC中AB=1、AC=6+21+3、面积S=，则A=_； 24 在ABC中，若acosA=bcosB，则ABC的形状是_ 8在A
3、BC中，sinA+sinAsinB=sinC-sinB，求角C 综合练习 1设方程xsinA+2xsinB+sinC=0有重根，且A、B、C为ABC的三内角，则ABC的三边a、b、c的关系是 Abac Babc Ccab Db=ac 2在ABC中C=90、A=75，CDAB，垂足为D，则22222CD的值等于 AB A1113 B C D 2342 3等腰三角形的底角正弦和余弦的和为6，则它的顶角是 2 A30或150 B150或75 C30 D15 4在ABC中(sinA+sinB+sinC)2=3(sin2A+sin2B+sin2C)，则这个三角形是三角形 A锐角 B钝角 C直角 D等边
4、5在ABC中0tanAtanBB是cosA0，则 A0cosA211 BcosA1 22 CcosA=0 D-1cosA0 9已知锐角三角形的边长为2、3、x，则x的取值范围是 A1x5 B5x13 C13x5 D1x5 10在ABC中，若面积SDABC=a2-(b-c)2，则cos A等于 A 112153 B C D 21317211在ABC中a=7、b=10、c=15，则tanA=_ 12在ABC中，若sinA=cosBcosC，则tanB+tanC_ 13在ABC中，若2cosBcosC=1-cosA，则ABC的形状是_ 14ABC的面积和外接圆半径都是1，则sinAsinBsinC_
5、 15在ABC中，sinC=sinA+sinB，则ABC的形状是_ cosA+cosB 16如图5-8，A60，A内的点C到角的两边的距离分别是5和2，则AC的长为_ 图5-8 17已知A为锐角三角形一个内角，且lg(1+sinA)=m，lg的值为_ 18在ABC中，若A=60，b=1，SDABC=3，则1=n，osA则lgc1-sinAa+b+c的值为sinA+sinB+sinC_ 19在ABC中，已知2sinBcosC=sinA，A=120，a=1，求B和DABC的面积 20在ABC中，已知(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB，求角C 21在
6、ABC中，内角A最大，C最小，且A=2C，若a+c=2b，求此三角形三边之比 22已知三角形的三边长分别为x+x+1、x-1、2x+1，求这个三角形中最大角的度数 拓展练习 1三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的2倍，则最小角的余弦等于 223729 B C D 410314 2在DABC中，P表示半周长，R表示外接圆半径，下列各式中： A+BtanA(P-b)(P-c)a+b2 sin= =a-btanA-B2bc2abc=R c=acosB+bcosA sinAsinBsinC A 正确的序号为 A、 B、 C、 D、 3在ABC中，若a2=b(b+c)，则有 AA=B BA=2B C
7、A=3B DB=2A 4在ABC中，tanA-Ba-b=，则此三角形为 2a+b A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 5在ABC中，若lga-lgc=lgsinB=-lg2，且B为锐角，则ABC的形状是_ 6设A是ABC中的最小角，且cosA=a-1，则a的取值范围是_ a+1 7如图5-9，在平面上有两定点A和B，AB=3，动点M、N满足AM=MN=NB=1记AMB和MNB的面积分别为S、T，问在什么条件下，S2+T2取得最大值？ 图5-9 8在ABC中，已知C2B，求证：c-b=ab 22图5-10 9圆O的半径为R，其内接ABC的三边a、b、c所对的角分别为
8、A、B、C，若2R(sin2A-sin2C)=sinB(2a-b)，求ABC面积的最大值 10若ABC是半径为r的圆的弓形，弦AB长为2r，C为劣弧上一点，CDAB 于D，当C点在什么位置时ACD的面积最大，并求此最大面积 参考答案 基础练习 1b= 56 c=26 22C24， B63或117 3C10， a3.6 4A=42， C=150 5C=83，b7.2，c8.2； C=95，a4.5，b5.0； A20，C111，c10.9； A35，B125，b=7.2或A145，B15，b2.3； c7.4，A32，B68； A43，B63，C74 1116BSD=absinC=bcsinA=
9、casinB； 222B三角形中大边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的120 csinCsin45=2，将c=2b代入b+c=2+1解A由正弦定理，得=bsinBsin302222得b、c的值； C由余弦定理，b=a+c-2accosB，即25=a+50-10a，解关于a的2方程a-10a+25=0，得a=5 7311+316+2或，由面积公式：SD=bcsinA，即=sinA，442422解得sinA=2，从而求出A； 2b2+c2-a2a2+c2-b2=b 等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得a，整2bc2ac2222222222理得(a-b)(c-a-b)=0，则a-b=0或c-a
10、-b=0，所以，a=b或c2=a2+b2 82abc=2R，可将已知的三个角的正弦关系转由正弦定理：3sinAsinBsinC222222化为三边关系：a+ab=c-b，即a+b-c=-ab，再利用余弦定理：2a2+b2-c2-ab1cosC=-，所以，C= 32ab2ab2综合练习 1DQ 方程有重根， D=(2sinB)2-4sinAsinC=0，即si2nB=sinAsiCn由正弦定理，得b2=ac 2C设ABa，则AC=acos75，BC=asin75由面积关系式：1111CDAB=ACBC，得CD=acos75sin75=asin150=a 2224 3A设等腰三角形顶角为a、底角为
11、b，则sinb+cosb=6，两边平方，解得2611，即sin2b= sina=sin(-2b)=sin2b=又 a 422为顶角， a=30或150 1+2sinbcosb=22 4D由正弦定理得(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，即2ab+2ac+2bc=2a+2b+ 2c2， (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 a=b=c nt 5C A、B、C为三角形的内角，又0aAantB0， tanA0，tanA+tanBtanC=tan(-A-B)=-tan(A+B)=-0， C为钝角 1-tanAtanB222222 6CcosAcosB1-sinAsinB， sinB0 A、
12、B为三角形的内角， sinA0， sinAsinBsinAsinB2RsinA2RsinB 22b=2RsinB 由正弦定理，a=2RsinA， sinAsinBab abAB cosAB 22 7AQcsinCsin2B=2cosB， bsinBsinB0B，2B， 又Q0C=2B， 2640A=-(B+C)，222cosB3.c(2，3) b23即cosB0，cosA0， 8B由条件知即 22D=16sinA-24cosA0，2(1-cosA)-3cosA011cosAcosA.又 A为三角形的一 又 122cosA2个内角， cosA1， 1cosA1 2 9B设三边2、3、x所对的三个
13、角分别为A、B、C，根据三角形任意两边之和大于第三边和余弦定理，有： 3-2x0，即cB22x22+32-x2o=s0cC2231x0， x2x-1301x5，xx135x0，b0， a+b-c=0 222c2=a2+b2 16213，由于A、E、C、F四点共圆，ECF=120，连结EF，在DCEF中，由余弦定理：EF2=52+22-252cos120=39，EF=39又由正弦定理可得AECF的外接圆直径AC=EF39=213 sin12032图答5-7 1711(m-n).lg(1+sinA)=m，lg=n，两式相减， 21-sinAlg(1+sinA)(1-sinA)=m-nlg(1-si
14、n2A)=m-n，即lgcos2A=m-n 2lgcosA=m-nlgcosA=(m-n) 18121239由三角形面积公式，SD=bcsinA，23222223=11csin60，21=13，2c=4由余弦定理，a=b+c-2bccosA=1+4-214a=13由正弦定理，abc13239由等比定理可得：=sinAsinBsinCsin603a+b+c239 =sinA+sinB+sinC3 19B=30，SDABC=13Q2sinBcosC=sinA，由正弦定理、余弦定理，12b=c，QA=120， a2+b2-c22b=a，a2+b2-c2=a2， 2abB=C=30由正弦定理，ab1=
15、sin30=1. b=sinAsinBsin1203SDABC=absinC=1121213sin30=3 12 2060设RDABC外接圆半径，由正弦定理： (abcabc3ab+)(+-)=， 2R2R2R2R2R2R2R2R 化简得：(a+b+c)(a+b-c)=3ab,(a+b)2-c2=3ab， a+b-c=ab 222a2+b2-c2ab1= C=60 再由余弦定理，得：cosC=2ab2ab2 21a:b:c=6:5:4QA=2C，由正弦定理： caaaa=， cosC= siCnsiAnsi2nC2siCncoCs2ca+c Qa+c=2b， b=由余弦定理： 2 cosC=a
16、+b-c=2ab222a2+(a+c2)-C25a-3c2= a(a+c)4aa5a-3c22=4a-10ac+6c=0，(2a-3c)(a-c)=0 2c4a3a+c535=ca:b:c=c:c:c=6:5:4 Qac，a=cb=22424x2+x+10，2 22120Qx+x+1，x2-1，2x+1为三角形的三边，x2-10， 2x+1022(x+x+1)-(x-1)=x+20， 解得，x1Q2 2(x+x+1)-(2x+1)=x-x=x(x-1)0，x2+x+1是最大的边长令其所对的角为a，由余弦定理： (x2-1)2+(2x+1)2-(x2+x+1)22x3+x2-2x-11 cosa
17、= =-=-23222(x-1)(2x+1)2(2x+x-2x-1) a=120，即这个三角形中最大角的度数为120 拓展练习 1A设三角形三边为n+1、n、n-1(nN)，它们所对的角分别为C、B、A，则C=2A则正弦定理，n-1n+1n+1n+1n+1=，cosA=由sinAsinCsin2A2sinAcosA2(n-1)(n+1)2+n2-(n-1)2n2+4nn+1n2+4n余弦定理，cosA=去分母=2n(n+1)2n(n+1)2(n-1)2n(n+1)323222得：n+2n+n=n+4n-n-4n n=5n， nN， n=5 453352+45=即最小角的余弦值为 coAs=42
18、5(5+1)604 如图，DABC中，C=2A，设A=a，A、B、C三内角所对的三边分别为n-1、CD在AB上取一点D，使An+1(nN)n、=BCD=a CDB=BCA=2a DCABDDCB设CD为x，则DA为x， xn+1-xn-1n(n-1)= x= nn-1n+1n+1n+1- n(n-1)22n+1=n-1即(n+1)-n+n=n-1 n3+3n+1=n2-2n+1 (n+1)(n-1)n+1n-1n+1nN， n=5 DABC的三边长为4、5、6由余弦定理，352+62-4225+36-163cosA= 最小角的余弦值为 4256604图答5-8 2C正确 P=1(a+b+c)，
19、由半角公式、余弦定理： 2b2+c2-a21-A1-cosA2bc= sin=2222bc-b2-c2+a2=4bca2-(b-c)24bc=(a+b-c)(a-b+c)(2P-2c)(2P-2b)(P-c)(P-b) =4bc4bcbc 正确由积化和差公式、正弦定理： A+BA+BA-B1tansincos(siAn+siBn)a+b2222 =A-BA+BA-B1(siAn-siBn)a-btancossin2222 正确如图：作AB边上的高CD，则AD=bcosA,BD=acosB c=bcosA+acosB或A、B中有一为钝角，同理可证得由余弦定理，b2+c2-a2a2+c2-b2bc
20、osA+acosBb+a 2bc2acb2+c2-a2+a2+c2-b22c2=c =2c2c 错误由正弦定理：abc=2RR sinAsinBsinC22 3B由正弦定理，得：sinA=sinB+sinBsinC (sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsinC 2sinA+BA-Bcos2cosA+BsinA-B=sinBsinC 2222 sin(A+B)sin(A-B)=sinBinC sin(A-B)=sinB即sin(A-B)-sinB=0 2cosAA-2Bsin=0 22A2 A=2B Qcos0， sinA-2B=0， 2 4D由正弦定理，a-bsinA-sin
21、B= a+bsinA+sinBA-BA+BA-Bsin2cossinA-B2=sinA-sinB=22 tan=A-BsinA+sinBA+B2cos2sincosA-B222A-BsinA+B=cosA+BsinA-B sin2222A-BA+BA+B=0或sin=cos sin 222A-B=0时，AB； 当sin2A+BA+B=1时，=， 当tan224 A+B= 2 A=B或A+B= 25等腰直角三角形 lga-lgc=lgsinB=-lg2， lga22a2=lgsinB=lg sinB=，又B为锐角， B=45又=，由c22c2正弦定理，有sinA2 A+C=180-B=135，
22、=sinC2 A=135-C 2sinC=2sin(135-C) C=sinC+cosC sinC=2(sin135cosC-cos135sinC)，即sincosC=0 C=90， A=B=45 DABC是等腰直角三角形 1cosA1即 63,+) A是DABC中的最小角， 0A60 2-2a-10，-1，a-11a-1a+1a+11a-32a-2-a-12a+1a-11a-1或a300a+1a+122(a+1)a3 7当DBAM为等腰三角形时，S+T取得最大值由余弦定理， 22图答5-10 MB2=AM2+AB2-2AMABcosA=4-23cosA， MB2=MN2+NB2-2MNNBc
23、osN=2-2cosN 4-23cosA=2-2cosN cosN=3cosA-1 11S2+T2=(13sinA)2+(11sinN)2 223212 =sinA+sinN 443212 =sinA+1-(3cosA-1) 44 =3233sinA-cos2A+cosA 442333-cos2A+cosA 422 = =332312312-cosA-cosA+ 42323223 =7312-(cosA-) 8223 0cosA1 当22 MBMN+NB=1+1=2， 0AcosA=123时，S+T22取得最大值此时MB=4-23123=3，即MB=3=AB， 当DBAM为等腰三角形时，S2+
24、T2取得最大值 8QC=2B， C-B=B又 A+B+C=， sin(B+C)=sinA 设DABC的外接圆半径为R，由正弦定理： 1-co2sC1-co2sB2c2-b2=(2RsiCn)2-(2RsiBn)2=4R2(siCn-si2nB)=4R2(-)22 =2R2(cos2B-cos2C)=-4R2sin(B+C)sin(B-C) =4R2sin(B+C)sin(C-B) =4R2sinAsinB=(2RsinA)(2RsinB)=ab c-b=ab 22 91+22R 2R(sin2A-sin2C)=sinB(2a-b)，由正弦定理：2a2c2b2R(2-2)=(2a-b) a2-c
25、2=2ab-b2 a2+b2-c2=2ab 4R4R2Ra2+b2-c22ab2 由余弦定理，cosC=又 0C p ， C= =42ab2ab2 SDABC= =1absinC 212RsinA2RsinBsin 242R2sinAsinB 2 2R(-1)cos(A+B)-cos(A-B) 2 22Rcos(A-B)-cos(-C) 2222Rcos(A-B)+ 22 = 当cos(A-B)=1，即A=B=-C=2-1+224=3时，S =RDABC最大值228 10r设CAB=q(0q45)，连结BC 1825-11 OA=OB=r，AB=2r， 90=135 2 CBA=180-135
26、-q=45-q DABC内接于圆O，由正弦定理， AOB=90 ACB=180-AC=2rsin(45-q) 在RtDACD中，AD=ACcosq=2rsin(45-q)cosq SDACD=1ACADsinq 2 =2r2sin2(45-q)cosqsinq =r21-cos(90-2q)sin2q 2r2(1-sin2q)sin2q =2r211(-sin22q+sin2q-+) =244r212r2 =-(sin2q-)+ 228 当sin2q= 由sin2q=112时，SDACD最大值=r 281，又0q45， 2q=30， q=15 212 当CAB=15时，DACD面积最大，最大面积为r 8
