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1、正弦定理余弦定理习题及答案正 余 弦 定 理 1在DABC中，AB是sinAsinB的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2、已知关于x的方程x-xcosAcosB+2sin22C=0的两根之和等于两根之积的一半，2则DABC一定是 直角三角形钝角三角形等腰三角形等边三角形. 3、 已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在ABC中，若b = 1，c =3，C= B2p，则a= 。 332p3C1A2，sinB+cosB=2，b=2，5、在DABC中，角A,B,C所对的边分别为a
2、，b，c，若a=则角A的大小为 6、在DABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且4sin求A的度数 若a=3，b+c=3，求b和c的值 7、 在ABC中已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状. 8、如图，在ABC中，已知a= BC中，AB1、解：在DA2B+C7-cos2A= 223，b=2，B=45 求A、C及c. abR2sniA2RsniBsnisAniB11-cosC2C=2、由题意可知：cosAcosB=2sin，从而222，因此，选C 2cosAcosB=1+cos(A+B)=1+cosAcosB-sinAsinB 所以cosAcosB+sinAsinB=1，cos
3、(A-B)=1又因为-pA-Bp所以A-B=0，DABC一定是等腰三角形选C 3、本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 由已知条件求出B、A的大小，求出C，从而求出sinC. 由A+C=2B及A+B+C=180得B=60，由正弦定理得13=得sinAsin60sinA=1，由ab知AB=60，所以A=30，C=180-A-B 2=90，所以sinC=sin90=1. 4、本题考查解三角形中的余弦定理。 对C利用余弦定理，通过解方程可解出a。 由余弦定理得，a2+12-2a1cos或-2。1 已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理
4、，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 先根据sinB+cosB= 由sinB+cosB=2p=3，即a2+a-2=0，解得a=132求出B，再利用正弦定理求出sinA，最后求出A. 2得1+2sinBcosB=2，即sin2B1=，因为0Bp，22=，sinAsin45所以B=45，又因为a=解得sinA=2，b=2，所以在DABC中，由正弦定理得：1，又ab，所以AB=45，所以A=30. 2p30或6 6由题意得 21-cos(B+C)-2cos2A+1=3b2+c2-a21cosA=2bc20A7712 2(1+cosq)-2cosA+1= cosA= 222p(b+c)2-a2=
5、3bc将a=3,b+c=3代入得bc=2,由b+c=3及bc=2，得b=1,c=2或b=2,c=1. 7、 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 A=B 即ABC为等腰三角形 2222解法2:由余弦定理: aa+c-b=bb+c-a a2=b2 a=b 2ac2bc22即ABC为等腰三角形. 8、 在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦
6、定和余弦定理，解得其它的边和角 asinB3sin45o3解法1：由正弦定理得：sinA= =b22B=4590 即ba A=60或120 bsinC=当A=60时C=75 c=sinB2sin75o=sin45o6+2 26-2 2bsinC2sin15o=当A=120时C=15 c=osinBsin45222解法2：设c=x由余弦定理 b=a+c-2accosB将已知条件代入，整理：x2-6x+1=0解之：x=62 2222当c=6+22)-3b+c-a1+316+22= 从而时cosA=22bc6+22(3+1)22222+(A=60 ，C=75 当c= 6-2时同理可求得：A=120
7、C=15. 21.在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB. 解：在ADC中， AC2DC2AD272325211cosC ， 2ACDC2731453又0C180，sinC 14ACAB在ABC中， sinBsinCsinC5356AB AC2 7. sinB142352.在ABC中，已知cosA ，sinB ，求cosC的值. 51332解：cosA cos45，0A 52445A90，sinA 551sinB sin30，0B 1320B30或150B180 若B150，则BA180与题意不符. 120B30 cosB 133124516coscosAc
8、osBsinAsinB 51351365又C180. 16cosCcos180cos . 65 3、在ABC中，已知2cosBsinCsinA，试判定ABC的形状. 解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinCsin2A， 由定理得sin2Asin2Csin2Bsin2A， sin2Csin2B BC 故ABC是等腰三角形. sinBsinC1.在ABC中，若sinA ，试判断ABC的形状. cosBcosC解：sinAsinBsinCsinBsinC ，cosBcosC ， sinAcosBcosCa2c2b2a2b2c2bc应用正、余弦定理得 ， 2ac2ababc2bc，
9、a22bc 即a2b2c2 故ABC为直角三角形. a2b2sin2.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：2 . csinC证明：由a2b2c22bccosA. b2a2c22accosB 两式相减得a2b2c， a2b2acosBbcosA2 . cc2asinAbsinB又 ， ， csinCcsinCa2b2sinAcosBsinBcosAsin2 . csinCsinC3.在ABC中，若bc，并且sinA2sinBcosC，试判断ABC的形状. 解：由已知条件bc及余弦定理得 b2c2a21cosA 2bc22A60 又由已知条件sinA2sinBcosC得sinsinsin sin0，BC 于是有ABC60， 故ABC为等边三角形.
