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1、步尚全+泛函分析基础习题答案提示泛函分析基础 第四章赋范空间中的基本定理 1. 设p是赋范空间X上的次线性泛函，满足p(0)=0，且在0处连续。 求证：p是连续映射。 证明：由p在0处连续，且满足p(0)=0可得： e0,$d0使得满足|x|=|x-0|d的x都有|p(x)-p(0)|=|p(x)|e。 从而h满足|h|d则|p(h)|e 任取x0,xX令z=x+hX，且满足|z-x|=|h|d，由p是x的次线性泛函可以得到： -p(-h)p(x+h)-p(x)p(x)+p(h)-p(x)=p(h) 即|p(x+h)-p(h)|max|p(-h)|,|p(h)|注意到|h|d,|-h|d 从而
2、|p(h)|e,|p(-h)|e即得到|p(x+h)-p(x)|0则由定理|f|=|fM1=,f|04.1.7：$fX使得d=0,，又条件(x)fX都有0f(x0)=0矛盾！ 从而假设不成立，x0M 5. 设X为可分赋范空间，求证：存在X单位球面的可数子集N，使得任取xX，有|x|=sup|f(x)|。 证明：X为可分赋范空间X存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为A=x1,x2,x3. 设X=x1,x2,x3.=A则2 xnA，$fn,mX,|fn,m|=1泛函分析基础 supm1|fn,m(xn)|=|xn|。 6. 设X为赋范空间，fX*求证：fXN(f)为X的闭线性子空间 证明： fXf
3、是X上的有界线性算子，且X为赋范空间 根据推论2.4.1，N(f)是X的闭线性子空间。 ：N(f)是X的闭线性子空间。若|f|=0，则fX显然。 若|f|0对于f:XK，0K并且是K的闭集，N(f)是X的闭线性子空间，即N(f)也为闭集。从而由定理1.2.6得：f是连续映射。 再根据定理2.4.4：X,K为赋范空间，fX*即f:XK为线性的故有 f是连续映射f是X上的有界线性算子。从而得证fX 7. 设X为赋范空间，M为X的非空子集。求证：若span(M)=X则 fMIN(f)=0。 证明：事实上由Hahn-Banach定理4.1.4可知：fX有f(x)=0则x=0xspan(M),$xnsp
4、an(M),xnxX=span(M)fspan(M)有f(x)=0则x=0fM有f(x)=0则x=0fMIN(f)=0。 ，即$x00,x0IN(f)。即fM另证：假设fMIN(f)fspan(M),f(x0)=0，x00。另一方面，由于span(M)=X，则fX,$fnspan(M)fnf(n)。从而对xX,fn(x)f(x)。注意到：fn(xn)=0所以0=fn(x0)f(x0)=0(n)即Hahn-Banach4.1.4fX,f(x0)=0x0=0这与假设矛盾！结论得证。 8. 设X为赋范空间，M为X的线性子空间。xX，求证： r(x,M)=sup|f(x)|:fX,|f|1,f|M=0
5、 证明：M为X的线性子空间M为线性空间0M，span(M)=M 3 泛函分析基础 x0XMx00。令Z=span(MUx0)定义gZg(z)=g(y+lx0)=|l|d其中yM,lK，d=r(x0,M)=infyM|x0-y| 显然有yM,xX,r(x,M)=g(x) (g)y=0Mg，=x0XM,g(x0)=d。即zZ,|g(z)|=|l|d=|l|infyM|x0-y|=linfyM|x0+y/l|=infyM|y+lx0|y+lx0=|z|从而|g|1。由Hahn-Banach定理：$fX,f|Z=g,|f|=|g|1f|M=g=0 r(x,M)=|f(x)|:fX,|f|1,f|M=0
6、 9. 考虑c0的线性子空间M=xnc0:无最佳逼近元。 10. 设X为赋范空间，M为X的线性子空间，令M=fX:f|M=0。若xn=0。求证：任取xMx在M中nn=12M1,M2为X的闭线性子空间，且M1M2。求证：M1M2。 11. 设赋范空间X中包含n个线性无关的元素，求证：X也包含至少n个线性无关的元素。 12. 设M为赋范空间X的非空子集，求证：M在X中为完全集在M上恒为0的fX在X上也恒为0. 13. 设X,Y为赋范空间，TB(X,Y),T*B(Y,X)为其共轭算子。求证：R(T)=N(T*)。 14. 设(X,d)为度量空间。求证：MX为无处稠密子集当且仅当(M)c为X的稠密子集
7、。 15. 证明：非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集。 16. 设xn为赋范空间X中的一列元，任给fX，f(xn)都是纯量有界列。求证：xn为有界列。 4 泛函分析基础 17. 设X为Banach空间，Y为赋范空间，TnB(X,Y)为一列有界线性算子，设任取xX，Tnx都是中的柯西列，求证：存在常数C0，使得任取n1，|Tn|C。 18. 在上题中又设Y为Banach空间，求证：存在TB(X,Y)，使得任取xX，TnxTx，且|T|supn1|Tn|。 19. 设X为Banach空间，Y为赋范空间，TnB(X,Y)为一列有界线性算子。证明下述命题相互等价： 存在C0 ,|Tn
8、|C ; 任取xX，Tnx为Y中的有界列； 任取xX,fY,f(Tnx)为纯量有界列。 20. 设X为赋范空间，x,xnX，xn弱收敛到x。求证：xspanxn:n1。 21. 设X为赋范空间，x,xnX，xn弱收敛到x。求证：$yn为x1,x2,x3,.的线性组合，使得ynx。 22. 设xn,xC0,1，xn弱收敛到x。求证：xn点点收敛到x。即任取t0,1，有xn(t)x(t) 23. 设X,Y为赋范空间。TB(X,Y)，x,xnX，xn弱收敛到x。求证：Txn弱收敛到Tx。 24. 设X为赋范空间，x,y,xn,ynX，an,aK，假设xn弱收敛到x，yn弱收敛到y，ana。求证：xn
9、+yn弱收敛到x+y，anxn弱收敛到ax。 25. 设X为可分Banach空间，MX为有界集。证明：M中任意序列均有子列弱星收敛到X中某元。 26. 设X,Y为赋范空间，T:XY为闭线性算子，求证： N(T)为X的闭线性子空间； 5 泛函分析基础 若T为一一映射，则T-1:YX也为闭线性算子。 T将X的紧集映射到Y的闭集。 Y中的紧集通过T的逆象为X的闭集。 27. 设H为Hilbert空间，A:HH为线性算子，满足 Ax,y=x,Ay，x,yH 求证：AB(H) 28. 设X为Banach空间，X1,X2为X的闭线性子空间。假设任取xX，存在唯一的x1X1,x2X2，使得x=x1+x2。求证：存在a0，使得 |x1|a|x1+x2|，|x2|a|x1+x2|，x1X1，x2X2 29. 设X,Y为赋范空间，T:XY为线性算子。求证：T为闭算子当且仅当任取xnX，xn0,Txny，都有y=0。 6
