求极限的方法及例题总结.docx

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1、求极限的方法及例题总结 1定义： 说明：一些最简单的数列或函数的极限都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x2lim(3x-1)=5 在后面求极限时，中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2极限运算法则 定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 limf(x)g(x)=AB limf(x)g(x)=AB limf(x)A=,(此时需B0成立)g(x)B 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 1 . 利用极

2、限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 lim3x+1-2例1 x1x-1 lim(3x+1)2-223x-3解：原式=x1(x-1)(3x+1+2)=limx1(x-1)(3x+1+2)=34 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 limnn(n+2-n-1)limn(n+2)-(n-1)分子分母同除以n3nn+2+n-1=limn=31+22解：原式=n+1-1n例3 lim(-1)n+3nn2n+3n2 。上下同除以3n=

3、解：原式 1(-)n+1lim3=1n2n+13 。 3两个重要极限 sinx=1x0x limlim(1+x)=ex01xlim(1+1)x=ex ； x 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， sin3x3lim=1lim(1-2x)-2x=elim(1+)3=ex例如：x03x，x0，x；等等。 1x利用两个重要极限求极限 1-cosx2x03x例5 limxx2sin22=lim2=1limx0x0x63x21222解：原式= 。 2sin2注：本题也可以用洛比达法则。 lim(1-3sinx)x02x例6 1-6sinx-3sinxx解：原式=x0l

4、im(1-3sinx)=lim(1-3sinx)x01-3sinx-6sinxx=e-6 。 3 例7 lim(nn-2n)n+1 n+1-3nn+1-3-3lim(1+)nn+1解：原式=-3-3n+1=lim(1+)=e-3nn+1 。 n+1-3n4等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小，且相互等价，即有： xsinxtanxarcsin面的等价 xarctanxln(1+x)ex-1 。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时，仍有上关系成立，例如：当x0时， e3x-1 3x ；ln(1-x2) -x2。 f1(x)f(

5、x)limg1(x)存在时，xx0g(x)也存在且 定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)f1(x)，g(x)g1(x)，则当xx0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。 利用等价无穷小代换求极限 limx0 例9 xln(1+3x)arctan(x2) 4 ln(1+3x)3x，arctan(x2)x2， 解：Qx0时， 原式=x0limx3x=3x2 。 ex-esinxlim例10 x0x-sinx esinx(ex-sinx-1)esinx(x-sinx)

6、lim=lim=1x0x0x-sinxx-sinx解：原式= 。 注：下面的解法是错误的： (ex-1)-(esinx-1)x-sinxlim=lim=1x0x0x-sinxx-sinx 原式= 。 正如下面例题解法错误一样： tanx-sinxx-xlim=lim=033x0x0xx 。 1tan(x2sin)xlimsinx例11 x0 解：Q当x0时，x2sin111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx， x2sin 所以， 原式=x0 lim1x=limxsin1=0x0xx 。 五、利用无穷小的性质求极限 有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价

7、无穷小替换求极限常常行之有效。 5 例 1. x0lim(1+xsinx-1sinsin(x-1)lim2lnxex-1 2. x0 1/2 1 5洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值时，函数f(x)和g(x)满足：f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大； f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0； f(x)limg(x)存在 ； f(x)f(x)limlimg(x)也一定存在，且等于g(x)，即 则极限f(x)f(x)limlimg(x)=g(x) 。 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意

8、条件0是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件一般都满足，而条件则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。 6 利用洛比达法则求极限 说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。 1-cosx2例12 x03x limsinx1=x06x6 。解：原式= limcospx例13 limx12x-1 -p2sinpx解：原式=x1例14 limx0lim2=-p12 。 x-sinxx3 lim1-cosxsinx1lim=2x0x06x6 。3x解：原式= si

9、nx-xcosx2例15 x0xsinx lim解： 原式=limsinx-xcosxcosx-(cosx-xsinx)=limx0x0x2x3x2xsinx1=lim=x03x23 先用等价无穷小，再用洛必达法则 11lim-x0xln(1+x) 例18 11lim-=0解：错误解法：原式=x0xx 。 7 正确解法： 原式=limln(1+x)-xln(1+x)-x=limx0xln(1+x)xxx01-1x1=lim1+x=lim=。x0x02x2x(1+x)2 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 limxx-2sinx3x+cosx 1-2cosx0lim解：易见：该

10、极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3-sinx，此极限 不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下： 2sinxxlimxcosx3+x 原式=1-1 =3 6连续性 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是 8 函数 f(x)的定义去间内的一点，则有xx0limf(x)=f(x0) 。 利用函数的连续性求极限 例4 limx2ex21x12x解：因为x0=2是函数f(x)=xe的一个连续点， 22 所以 原式=e=4e 。 127极限存在准则 定理7 单调有界数列必有极限。 四、利用单调有界准则求极限 首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限

11、。 例1. 设a0，x1=a,x2=a+a=a+x1,L,xn+1=a+xn(n=1,2,L)求极限nlimxn。 9 定理8 已知xn,yn,zn为三个数列，且满足： ynxnzn,(n=1,2,3,L) nlimyn=a，nlimzn=alimxn=a 则极限n 10. 夹逼定理 limxn一定存在，且极限值也是a ，即n。 利用极限存在准则求极限 例20 已知x1=2,xn+1=2+xn,(n=1,2,L)，求nlimxnlimxnxxnn解：易证：数列单调递增，且有界，由准则1极限n10 存在，设 得： limxn=an。对已知的递推公式 xn+1=2+xn两边求极限， a=2+a，解

12、得：a=2或a=-1 所以 limxn=2n。 +1n+21n2+12lim(1n+1n2例21 n+L+12n+n 1n2+2+L+1n2+nnn2+1 )2n+n解： 易见：+limnn+n2因为 n=1limnn+1+2，lim(nn=1121n+12所以由准则2得： n+2+L+1n+n2)=1 。 9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法 对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。 11 11. 泰勒展开法 12. 利用定积分的定义求极限法 积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。 12 8. 利用复合函数求极限

13、十、利用级数收敛的必要条件求极限 级数收敛的必要条件是：若级数些极限nlimf(n)un=1n收敛，则nlimun=0，故对某，可将函数f(n)作为级数n=1f(n)的一般项，只须证明此技术收敛，便有nlimf(n)=0。 13 n!例 nnn lim十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。 例 求nlim(1+133+2+L+n-1)333 7等比等差数列公式应用 8各项的拆分相加 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 11 还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！ x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 ! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中 16直接使用求导数的定义来求极限 ， 加减f的形式， 看见了有特别注意） 14