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1、求解变力做功的十种方法 求解变力做功的十种方法 功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法。 一. 动能定理法 例1. 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为,则拉力F所做的功为：O A：mgLcosq B：mgL(1-cosq) C.：FLsinq D：FLcosq L 分析：在这一过程中，小球受到重力、拉力F、和绳的弹力作用， Q 只有重力和拉力做功，
2、由于从平衡位置P点很缓慢地移到Q点.，小球的动能的增量F P 为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。 解：由动能定理可知：WF故B答案正确。 小结：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。 二. 微元求和法 例2. 如图2所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。 解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向，即F在每瞬时与转盘转过的极小位移Ds
3、1、Ds2、Ds3-WG=0 WF=WG=mgL(1-cosq) 图1 Dsn都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即： 图2 W=(FDs1+FDs2+FDs3+FDsn)=F(Ds1+Ds2+Ds3+Dsn)=F2pR小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可化曲为直,把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=Fscosq计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和. 三. 等值法 等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=F
4、Scosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。 例3.如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛，滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为g和。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。 解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为：1 图3 s1=Hsi
5、ng s=2Hsinb那么恒力F的作用点移动的距离为：s=s1-s2=H(1-1) singsinb故恒力F做的功：W=FH(11-) singsinb小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。 四. 平均力法 例4：如图4所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。 解:木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关
6、系、F-S图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。 木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降x1，水面上升x2根据水的体积不变，则：hx1=hx2 得x1=x2 所以当木块下降22图4 h时，木块恰好完全浸没在水中， 4F=DF浮=rgh2(x1+x2)=2rgh2x1x1 h0+rgh2hF+F2h2h=1rgh4 所以W1=F=1=4242483h5=h 木块恰好完全浸没在水中经Dh=2h-442h到容器底部，压力为恒力F=rgh 252h5h=rgh4 所以W2=FDh=rgh248故压力所做的功为：W=W1+W2=3rgh4 4 小结：用平均值求变力做功的关键是先判断変力F与位
7、移S是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2。当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力F=的公式W=Fs进行求解。 五. 图象法 例5.用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？ 解:铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，F其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出Fx图象，如图5，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做kx2的功.由于两次做功相等，故有：S1=S2(面积) 即： F1+F2，然
8、后再利用功2121 kx1=k(x2+x1)(x2x1) 得 x2=2cm 22所以第二次击钉子进入木板的深度为： Dx=x2-x1=(2-1)cm 小结：某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F与位移S的图像，则2 kx1S1O 图5 x1S2x2xF-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中変力F做的功。 六. 用公式W=Pt求解 例6.质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？ 分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最
9、大值。已知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用P=Fv求，因此汽车所做的功则可用W=Pt进行计算。 解：当速度最大时牵引力和阻力相等， P=Fvm=fvm 汽车牵引力做的功为W=fvmt 根据动能定理有：W-fs=1mv2 m2 解得： f=6000(N) 对于变力做功的问题，首先注意审题，其次在此基础上弄清物理过程，再建立好物理模型，最后使用以上谈到的各种方法进行解题，就会达到事半功倍的效果。 小结：对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交
10、通工具发动机做的功。对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据W=Pt来求牵引力这个变力所做的功。 七. 机械能守恒法 例7. 如图7所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。 解：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则 mv0对状态A：EA=mgh+ 对状态B：EB=W弹簧+0 2由机械能守恒定律得：W
11、弹簧2如图7 mv=mgh+0=125J 22小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。 八. 功能原理法 例8. 如图8所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？ 解：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用W=Flcosa求解。该过程中，物体要经历图8所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为： Dh=12(a2+b2-b 图8 )由功能原理可知W外=DEP+DEk 当DEk=0时，W外最小，为：W外=DEp=mgDh=1mg2(a2+b2-b。 )小结：做功是能量转化的
12、原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的3 情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。 九. 能量守恒法 例9. 如图9所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内求：此过程中所加外力F的最大值和最小值。 此过程中力F所做的功。 解：设A上升前，弹簧的压缩量为x1，B刚要离开地面时
13、弹簧的伸长量为x2，A 上升的加速度为a。 A原来静止时，因受力平衡，有：kx1=mg2 设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为F1，有：F1+kx1-mg=maB恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F2，对A有：F2-kx2-mg=ma对B有：kx2=mg由式，得：x1=x2=图9 at2 由位移公式，对A有：x1+x2=2mg=015.mk 由式，解得a=3.75m/s2 分别解得：F1=45NF2=285N力作用的0.4s内，在末状态有x1=x2，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即： m(at)2WF=mg(x1+x2)+=49
14、.5J 2小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。 十. 利用W=qU 在匀强电场中移动电荷的时候，可以直接根据恒力做功的公式求解。如果是在非匀强电场中，由于电场力是变力，不能用功的定义式求解，但若已知电荷的电量和电场中两点间的电势差，我们就可以用公式W=qU进行求解。 例10. 电场中有A、B两点，它们的电势分别为jA=-100V，jB=200V，把电量q=-2.010C的电荷从A点移动到B点，是电场力做功还是克服电场力做功？做了多少功？ 解：电荷从A到B的过程中，电场力作的功为： -7WAB=qUAB=(-210-7)(-100-200)=6.010-5J 因为W0，所以是电场力做功。 小结：求非匀强电场中电场力做功时，一般都用该方法求解。 综上所述，变力做功的求解有很多方法，一个个看似复杂，无法求解变力做功的问题，只要灵活运用以上方法，就一定能够手到擒来。 4
