《求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形.docx（3页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形 已知：ABC中，BE平分ABC，CF平分ACB，求证：ABAC 己知 在ABC中，BE,CF是B，C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC. 证法一 设ABAC,不妨设ABAC，这样ACBABC，从而BCF=FCE=ACB/2ABC/2=CBE=EBF。 在BCF和CBE中，因为BC=BC, BE=CF，BCFCBE. 所以 BFCE。 (1) 作平行四边形BEGF，则EBF=FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG， A故FCG为等腰三角形，所以FCG=FGC。 因为FCEFGE，所以ECGEG=BF. (2)
2、 显然(1)与(2)是矛盾的，故假设ABAC不成立，于是必有AB=AC。 F O 证法二 在ABC中，假设BC，则可在CF上取一点F，使FBE=ECF，这有CFCF。 B延长BF交AC于A,则由BAE=CAF,有ABEACF. 从而AB/AC=BE/CFBE/CF=1. 那么在ABC中，由ABAC，得: ACBABC，即C(B+C)/2，故BC。 再由假设BC，即有B=C。 所以ABC为等腰三角形。 斯坦纳-雷米欧司定理: 设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于O BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出： AB/
3、AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同EC理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC 注:L为角的符号 说是有十三种证法 三角形ABC内底角B和C的角平分线交AC和AB于点E和点D，假设角B大于角C，作与角ACD相等的角EBF交CD于点F，交AC于点G，由于同一个三角形中大角对大边，又因为角GBE加二分之一角ABC大于角ACB，所以GC大于GB，由于两个对应角相等，三角形GBE与三角形GCF相似
4、，则CF大于BE，因为CD等于BE,CF是BE中的一部分所以假设不正确。同理可证角ACB不大于角ABC，所以只有一种可能即角ABC等于角ACB。（请自己准确作图我没空作图!) 应该对的、 求证：AB=AC 证明一：设ABAC,于是角ACB角ABC 角BCF=FCE=ACB1/2角ABC=CBE=CBF 在三角形BCF和三角形CBF中 BC=BC BE=CF 角BCFCBE 所以BFCE 作平行四边形BEGF,则角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接CG,三角形FCG为等腰三角形 则角FCG=FGC 因为角FCEFGE 所以角ECGEG=BF 显然12矛盾 同理ABAC矛盾 则AB
5、=AC 证明二：引证:若三角形AD为角平分线，则BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c) 由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c)+b2(ac/(b+c)-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则AD2=bc(1-(a/(b+c)2) 三角形ABC中BE CF为角B C的平分线 由BE=CE得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以a(a+b+c)(a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0 所以b=c 您好，很高兴为您解答，OutsiderL夕为您答疑解惑 如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳,手机客户端右上角评价点满意即可。 如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。 祝学习进步
