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1、波利亚解题实例用波利亚的解题方法解题 在ABC中，A,B,C所对的边分别是a,b,c，且c=10,cosAb3=,p为cosBa4VABC内切圆上的动点.求点p到顶点A,B,C的距离的平方和的最小值与最大值。 ： 第一步：理解题意。 本题的条件是(i)c=10,(ii)cosAcosB=ba=34, (iii)P是VABC内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A，B，C三顶点的距离的平方和的最值。 由此可得，这是一道关于图形的最值问题。 第二步：拟订计划 设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题： 第一， 已知三角形某些边角之间的数量关系， 要求判断这三角形的形状或解
2、出它。 第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。 于是原问题可分列为两个较为简单的问题： a，b，c为VABC的三边，且c=10，cosAcosB=ba=34,，试确定ABC的形状及其大小。 确定的VABC的内切圆上有一动点P，试求PA2+PB2+PC2 的最小值与最大值。 对小题，VABC已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来对于小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解
3、题计划可以说是拟定了。 第三步：实现计划： 由cosAcosB=ba,用正弦定理做代换，得cosAsinBcosB=sinA, 即sinAcosA=sinBcosB或sin2B=sin2A， 因为cosAcosB=43,知AB，且A,B是三角形内角， 所以2A=p-2B,即B+A=p2, 所以VABC是直角三角形. 再由c=10，ba=34及a2+b2=c2，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角ABC的三个顶点 为A，B，C.在直角VABC中，有a+b=c+2r,r=2, 所以，内切圆的圆心为O(2,2),方程为(x-2)2+(y-2)2=4. 设圆上的任一点为P,则有 S=
4、PA+PB+PC 222=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2 =3(x-2)2+(y-2)2-4x+76 =34-4x+76 =88-4x 因P是内切圆上的点，故oz4，于是当z=4时，有最小值72，当x=o时，有最大值88。 第四步：回顾讨论 对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑： x=O时，P点运动到BC上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72 此外，能否用别的方法来导出结果呢?对第小题也可一开始用余弦定理作代换，对第小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法(略) 本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验 (1)如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂呈度明显上升这说明，对于同样的素材(题设条件)，选用不同的加工方法(解题方法)，其繁简程度是有显著区别的 (2)从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生 (3)数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题.
