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1、测量平差的数学模型本节重点：测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型； 测量平差的随机模型。 本节教学思路： 首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。 教学内容： 一、平差模型的定义与分类 1从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型； 2函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型； 二、各类函数模型的建立 概述 1
2、函数模型定义： 在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。 2函数模型的意义与特点 函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。 对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。 函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时式），总是要将其线性化。 各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。 1. 条件平差法及其函数模型 首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。 A h4 h1 D h2 h6
3、 h3 C B h5 图2-2 在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式，可以表示为： L+L2+L3-180=0 1令 13A=1 1 1 TLL 31=1L2 3 则上式为 LA0=-180 AL+A0=0 再如图2-2水准网， D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为 L=h1hhhh 61 2 3 h4 5 6 其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是： F(L 1)=h1-h2-h4=0 F(L)=h2-h3+h5=0 2F(L)=h1-h3-h6=0 3令 1-10-100A=01
4、-10103610-100-1 则上面条件方程组可写为 AL=0 一般而言，如果有n个观测值即 n1L，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程，F(L)=0 如果条件方程为线性形式，则可以直接写为 rnn1AL+A0=0r1r1将L=L+D代入式，并令 W=-(AL+A0) 则式为 AD-W=0 或式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。 C 2. 附有参数的条件平差法及其函数模型 在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个S1 数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参数，且0 ut,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列
5、出r+u个条件B L3 S2 XA L1 L2 S3 2-3 图 方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。 如图2-3的三角形ABC中，观测了三个内角L1、L2、L3，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选A为平差参数X，即u=1，此时条件方程个数应为r+u=2个，它们可以写成： L1+L2+L3-180=0 L1-X=0 令 1110-180A=B=A=0-10100， 则上式可写成 2331AL+BX+A0=0212121一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，0 ut个参数，其中包
6、含t个独立参数，则多选的s=u- t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。 其函数模型的一般形式为 线性形式的函数模型为 n1n1L=F(X)S1F(X)=0L=BX+dnuu1n1 suu1CX-W=0s1将L=L+D代入式，并令 l=L-d 则和式可写为 n1D=BX-lnuu1suu1n1 CX-W=0s1这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中称为限制条件方程。 5. 附有条件的条件平差
7、及其函数模型 上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应的要求，如：条件平差u=0；附有参数的条件平差0ut，要求包含t个独立参数。 附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u个。如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则应列出s个形如的限制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s 个形如的一般条件方程，形成如下的函数模型 c1F(L,X)=0S1F(X)=0若为线性形式，则为 cnn1AL+BX+A0=0cuu1c1suu1CX-W=0s1
8、考虑到L=L+D，则 cnn1AD+BX-W=0cuu1c1suu1CX-W=0s1这就是附有条件的条件平差的函数模型。 平差的随机模型 函数模型反映了测量控制网中各几何元素间的数学关系，但测量元素是存在误差的，因此还必须建立观测值向量n1L及相关量的随机模型，亦即观测向量的协方差阵： nn22D=s0Q=s0P-1nnnn2s0式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，为单位权方差。 综述 函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P、Q、D其中之一。一般是220ss0按第一章介绍的方法进行
9、平差前经验定权。可以通过平差计算求出其估值，然后根h2 h1 P1 P2 A h3 h4 B 例题 2=s0DQ求得D的估值。 据公式图2-4 例2-1 如图2-4水准网中，A，B点为已知水1，P2点为待定水准点，观测高差为准点，Ph1，h2，h3，h4。 试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型： 1. 按条件平差法； P，PX2点高程为未知参数1，X2时； 2. 若选13. 若仅选P1点高程为未知参数X时； h，hX234. 若选的平差值为未知参数1，X2时； h，h，hX，X2,X3时。 1235. 若选的平差值为未知参数1解：本题n=4，t=2，则r=n-t=2 1. 按条件平差法应列出2个条件方程，它们可以是 h2-h3=0H+h1+h2+h4-HB=0 A2. 此时参数个数u=t=2，且不相关，属于间接平差，函数模型为 h 1=X1-HA h=-X+X12 2h=-X1+X2 3h=-X2+HB 43. u=1t且包含2个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为s=u-t=1，观测方程个数为4个。函数模型为 h 1=X1 h=X2 2h=X3 3h4=-HA-X1-X2+HB 限制条件方程为 X-X3=0 2
