淮海工学院高等数学目与测试第七章空间解析几何与向量代数.docx

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1、淮海工学院高等数学目与测试第七章 空间解析几何与向量代数第七章 空间解析几何与向量代数 一、向量代数 、内容要求： 理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，自学定比分点公式。 理解向量的概念及其坐标表达，了解向径的坐标表示与点坐标表示之间的关系。 掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表示，自学混合积。 学会用向量代数方法解决有关向量间位置关系的问题。 、基本题型： 有关空间直角坐标系下点坐标的问题。 1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (A) (B) (C) (D) 解： 2若A(1,-1,3),B(1,3,0)，则AB中点坐标为(1,1,)，|AB|= 5 . 3

2、.求(a,b,c)点关于各坐标面各坐标轴坐标原点的对称点坐标。 解：xoy-(a,b,-c),yoz-(-a,b,c),xoz-(a,-b,c) x-(a,-b,-c),y-(-a,b,-c),z-(-a,-b,c) o(0,0,0)-(-a,-b,-c) 4若点M的坐标为(x,y,z)，则向径OM用坐标可表示为(x,y,z)或x,y,z. 5一边长为a的立方体放置在xoy面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。 解：(322222a,0,0),(0,a,0),(a,0,a),(0,a,a) 22226已知A(-1,2,-4)，B(6,-2,t)，且|AB|

3、=9，求t；线段AB的中点坐标。 1 0或-8， 或解： 有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。 7设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算M1M2的模、方向余弦、方向角及单位向量。 5252模2，12212p3pp，），a=，b=，g= 223431 或22222v8若a,b,g为向量a的方向角，则cos2a+cos2b+cos2g= 1 ； sin2a+sin2b+sin2g= 2 . 9.设m=，n=和p=，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。 vvvvrvvrrvvv解：13， 7j (Qa=4m+3n-p=4(3,5,8)+3(2,-4,-7)-(

4、5,1,-4) =(13,7,15) 10已知点P的向径OP为单位向量，且与z轴的夹角为求点P的坐标。 解：(p，另外两个方向角相等，6122,122v,3) 211.已知向量a与各坐标轴成相等的锐角，若|a|=23，求a的坐标。 2vv解：因为3cosa=1cosa=rr33，所以ax=acosa=23=2 33 同理ay=az=2，故a=(2,2,2) 向量的数量积与向量积及其坐标运算。 12下列关系式错误的是- 22(A) ab=ba (B) ab=-ba (C) a=|a| (D) aa=0 vvvvvvvvvvvvvvvvvv13设a=，b=，求ab与ab. vvvv解： ab=-1

5、， ab=-3,5,7 14.设a=(2,-3,2),b=(-1,1,2),c=(1,0,3)，求(ab)c. vvvvvv2-32vvv解：(ab)c=-112=-11 103用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。 15确定下列各组向量间的位置关系： 2 rrvva=(1,1,-2)与b=(-2,-2,4) ab vva=(2,-3,1)与b=(4,2,-2) ab vv16求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影。 解：prja=acos(a,b)=abaabb=abb=6=2 3用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题。 vvvv1

6、7已知：OA=i+3k，OB=j+3k，求DOAB的面积。 解：SD=119 OAOB=2218DABC三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则如何用向量积的方法来求出DABC的面积？ 解：SDABC=1x22x3x1y11y21 y31vv19试找出一个与a=(1,2,1),b=(0,1,1)同时垂直的向量。 rrrijk 解：l(ab)=l121=l(1,-1,1) 011、综合应用题型： 涉及到代数向量的综合计算问题。 20已知三点M1(2,2,1),M2(1,1,1),M3(2,1,2)，求M1M2M3； 求与M1M2,M2M3同时垂

7、直的单位向量。 uuuuuuruuuuuur1 解： M2M1=(1,1,0)M2M3=(1,0,1)，cos(M2M1,M2M3)= 2 故 M1M2M3= p3(M1M2M2M3)M1M2M2M3=(13,13,13) 21已知A(1,0,0),B(0,2,1)，试在z轴上求一点C，使DABC的面积最小。 3 11解：设C(0,0,z)， A2=4(5z2-2z+5)z=5 *、提高题型： 用“几何向量”来处理有关向量问题。 22已知：av,bv,cv为单位向量，且满足av+bv+cv=v0，求avbv+bvcv+cvav. 解： (av+bv+cv)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

8、=3+2(ab+ac+bc)=0 故 avbv+bvcv+cvav=-3223设|av|=3,|bv|=4,|cv|=5且av+bv+cv=v0，求bvcv；|avbv+bvcv+cvav|. 解：由av+bv+cv=v0易知 cv2=ar+br2=|av|2+|bv|2-2|av|bv|cos(a,b) =p2bc=bccos(b,c)=cPijcb=5(-165)=-16 avbv+bvcv+cvav=ab-b(a+br)-a(a+br)=3(ab) 故 avbv+bvcv+cvav=3absin(a,b)=36 24设Av=2av+bv,Bv=kav+bv，已知|av|=1,|bv|=2

9、|，且(av,bv)=q，0qp，若AvBv，求k值。 q为何值时，Av与Bv为邻边的长方形面积为4？ 解：由 A.BAB=0得 k(1+cosq)=-2(1+cosq) 可讨论：不论q是否是p2， 都有k=-2 (2)AB=(2a+b)(ka+b)=2-k.abr=4absinq=4q=p625设非零向量av,bv，求证：lim1t0t(|av+tbv|-|av|)=prjvavb. 4 解： lim1t0t(|av+tbv|-|av|) =lim(a+tb()(a+tb)-)aat0ta+tb+at2=lim(bb)+2t(ab)2abrt0t(a+tb+a)=2a=prjab 二、平面方

10、程 、内容要求： 掌握平面的法向量及点法式方程，了解平面其它形式的方程。 掌握平面与平面特殊位置关系，了解夹角算法。 学会计算点到平面的距离。 、基本题型： 三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。 26求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3)的平面方程。 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)不共线，你能给出过此三点的平面方程吗？rirjkr解： 因为平面的法向量为 n=M1M2M1M3=-34-6=(14,9,-1) -23-1故 14(x-0)+9(y-2)-z(z-3)=0. 14x+9y-z-15=0

11、x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1=0 x3-x1y3-y1z3-z127指出下列平面方程的位置特点，并作示意图： y-3=0； 3y+2z=0； x-2y+3z-8=0. 解：过点(0,3,0)且平行于坐标面xoz的平面。 (2)过x轴且垂直于坐标面yoz的平面。 截距分别为8,-4,83的平面。 二平面垂直与平行的判定。 28判定下列两平面之间的位置关系： x+2y-4z=0与2x+4y-8z=1. 2x-y+3z=1与3x-2z=4. 5 解 平行； 垂直 二平面夹角的计算。 229求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角。 解：cosq=12+(-1

12、)1+2166=p31=， 故 q= 3623+8-36+123+4+12222点到平面距离的计算。 30点(1,2,3)到平面3x+4y-12z+12=0的距离d=13132=1 31求Ax+By+Cz+D1=0与Ax+By+Cz+D2=0之间的距离。 解： 在Ax+By+Cz+D1=0上取一点(0,0,-D1)， C0+0-C由点到平面的距离公式得 d=2D1+D2C22A+B+C=D2-D1A+B+C222用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程 32求满足下列条件的平面方程： 平行y轴，且过点P(1,-5,1)和Q(3,2,-1). 解： 设所求平面为 Ax+Cz+D=0，将P,Q

13、代入得A=- 故所求平面为 x+z-2=0 过点(1,2,3)且平行于平面2x+y+2z+5=0. 解： 2(x-1)+(y-2)+2(z-3)=0， 即 2x+y+2z-10=0 过点M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0. 解：所求平面为Ax+By+Cz+D=0，于是有A+B+C=0 A+B+C+D=0，B-C+D=0 解得D=0B=CA=-2B，-2Bx+By+Bz=0 即2x-y-z=0 三、直线方程 DD,C=- 22 6 、内容要求： 掌握直线的方向向量及对称式方程，了解直线其它形式的方程。 掌握直线与直线特殊位置关系的条件。 学会计算点到直线的距离。

14、、基本题型： 两点式直线方程的计算。 33过点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的直线方程为 x-x1y-y1z-z1 =x2-x1y2-y1z2-z1一般式方程转化为对称式方程。 34用对称式方程及参数式方程表示直线x+y+z+1=0,2x-y+3z+4=0. rirjkr解：s=111=(4,-1,-3)，取 x=0,y=1 得z=-52-134z+5 故直线的对称式方程为 xy-144=-1=-3 直线参数式方程为 x=4ty=-t+1 z=-3t+54两直平行或垂直的判定。 35. 判别下列各直线之间的位置关系： x=1+2t,L=y+11:-x+12=z+13与L2:

15、y=2+t, z=3.解：s1=(-1,2,3)，s2=(2,1,0)，s1s2=0 所以 L1L2 L1:-x=y2=z3与L2:2x+y-1=0,3x+z-2=0. rirjkr解：s1=(-1,2,3)，s2=210=(1,-2,-3)=-(-1,2,3) 301 所以 L1L2 7 *点到直线距离的计算 36求原点到x-1z-3=y-2=的距离。 22x=2t+1x-1z-3=y-2=解：方法化为参数方程y=t+2 22z=2t+3 点到直线上任意点的距离为 d(t)=(2t+1)2+(t+2)2+(2t+3)2 =9t2+20t+14 =9(t+10210010026)+14-=14

16、-=9993(t=-10) 9 方法过点与且直线垂直的平面方程为 2(x-0)+(y-0)+2(z-0)=0 x=2t+110 将直线L化为参数式方程为y=t+2代入直线L的垂面方程，得t=- 9z=2t+3 所以在直线L上的垂足为(-1187,) 999 所求距离为d=(-112827210026 =)+=14-39999v37设M0是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：r|M0Ms|点M0到直线L的距离d=. r|s|解：设M0(x0,y0,z0)M(x,y,z) M0M=(x-x0,y-y0,z-z0)，s=(m,n,p) M0Ms=M0M.ssin(M0M,

17、s) 又dM0M=sin(M0M,s)，d=M0M.M0MsM0Ms=M0Mss四、平面与直线综合题训练课 8 、基本题型： 直线与平面的交点计算。 38求直线x-2=y-3=解：令x-2=y-3=z-4与平面2x+y+z-6=0的交点。 2z-4=t 2 代入平面得 2(t+2)+(t+3)+(2t+4)-6=0，t=-1 所求交点为 (1,2,2) 已知点在已知平面的投影计算。 39求点M(5,0,-3)在平面P:x+y-2z+1=0上的投影。 解：过M(5,0,-3)且与P:x+y-2z+1=0垂直的直线方程为 x-5yz+3=t 11-2代入得t+5+t-2(-2t-3)+1=0t=-

18、2 x=3,y=-2,z=1， 故在平面P:x+y-2z+1=0上的投影为(3,-2,1) 直线与平面特殊位置关系的判定。 40设L:x-1-2=y+1z+1=与P:2x+2y-2z=2，则- 1-1LP L/P,LIP= LIP=L L与P夹角为*p 4、综合应用题型： 涉及线面关系的综合计算。 2x-2y+4z-7=0,41求过点且与直线垂直的平面方程。 3x+5y-2z+1=0.rrrijk解：s=2-24=-16(1,-1,-1) 35-2所求平面方程为(x-2)-(y-0)-(z+3)=0 即x-y-z-5=0 42求过点且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。 9 ri

19、解：直线的方向向量为s=1rjrk02=(-2,3,1) 01-3xy-2z-4= -231x-4y+3z=的平面方程。 43求过点M(3,1,-2)且通过521x-4y+3z=上取一点P(4,-3,0) 解：在直线521rrrijk 故所直线方程为 MP=(1,-4,2)，n=(1-4,2)(5,2,1)=1-42=(-8,9,22) 521所求平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即 8x-9y-22z-59=0 44已知直线L1:x-1=行L2的平面方程。 y-2z-3x+2y-1z=，求过L1且平，直线L2:0-1211ri解： n=1rjrk0-1=1,-3,1

20、 211在L1上任取一点(1,2,3)， 故所求平面方程为 (x-1)-3(y-2)+(z-3)=0 即x-3y+z+2=0 *、提高题型： 已知点在已知直线上的投影问题。 45求点M(4,1,-6)关于直线L:x-1yz+1=的对称点。 23-1x=2t+1x-1yz+1=解：直线L:的参数方程为y=3t .(*) 23-1z=-t-1 过点M(4,1,-6)与且直线L垂直的平面方程为 2(x-4)+3(y-1)-(z+6)=0 .(*) 将(*) 代入 (*) 2(2t+1-4)+3(3t-1)-(-t-1+6)=0t=1 10 即得垂足为M0(3,3-2)， x+42=3x=2y+1=3

21、得y=5 由2z=2z-62=-2已知直线在已知平面上投影直线方程的计算。 46求直线x+y-z-1=0,在平面x+y+z=0上的投影直线方程. x-y+z+1=0.解： 过直线x+y-z-1=0,的平面束方程为 x-y+z+1=0. x+y-z-1+l(x-y+z+1)=0 即 (1+l)x+(1-l)y+(l-1)z+l-1=0 由(1+l)1+(1-l)1+(l-1)1=0得 l=-1 x+y-z-1=0,y-z-1=0, 故直线在平面x+y+z=0上的投影直线方程为 x-y+z+1=0.x+y+z=0.五、曲面与曲线及其方程 、内容要求： 了解曲面方程的概念，*记忆常用二次曲面方程及其

22、图形。 了解母线平行于坐标轴的柱面方程；自学以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程。 了解曲线的一般式与参数式方程。 *学会计算空间曲线在坐标平面的投影方程。 、基本题型： 母线平行于坐标轴的柱面方程与平面直角坐标系下曲线方程的区别。 47指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ x=3； 2x+y=4； x+y=1； y=x. 解：直线; 平面 直线; 平面 222 11 圆; 圆柱面方程 抛物线; 抛物柱面 *常用二次曲面的草图画法及图形辨识。 48说出下列二次曲面的名称，并作草图： (x+1)2+(y-2)2+(z-3)2=1. z2=1. x+y+422z=x2+y2.

23、 x2+y2. z=4z=4-x2-y2. 解：(旋转椭球面) *空间曲线在坐标平面上的投影方程计算。 22z=4-x-y,49求在xoy面上的投影方程。 22z=3(x+y).解： 消去z得 x2+y2=1， x2+y2=1故在xoy面上的投影方程为 z=0、提高题型： 旋转曲面方程的计算。 x2z250将xoz坐标面上的双曲线2-2=1分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋ac转曲面方程。 x2+y2z2-2=1， 解：绕z轴所求旋转曲面方程为 2acx2y2+z2=1 绕x轴所求旋转曲面方程为 2-ac251方程2x+2y+3z=9在空间直角坐标系中表示- (A) 球面 (B) 非旋转椭

24、球面 (C) 旋转椭球面 (D) 椭圆抛物面 画出各曲面所围成的立体图形。 52x=0,y=0,z=0,x=2,y=1,3x+4y+2z-12=0 222 12 53z=x2+y2及z=2-x2-y2 13 第七章 测试题 一、选择题 1. 点(a,b,c)关于y轴的对称点坐标为- (-a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,b,c) (a,-b,c) 2. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角- 30,45,60 45,60,90 60,90,120 45,90,135 3. x2+2y2=1在空间直角坐标系下表示- 椭圆 圆柱面 椭圆柱面 圆锥面 4. 设a,b为与a,b同向的单位

25、向量，则Prjab=- ab ab ab ab 5. 平面x+26y+3z-3=0与xoy面夹角为- pppp 6432x-2y+2z-3=6. 直线L:与平面P:x+y+z=3的位置关系为- 31-4平行 垂直 斜交 L在平面P上 x2y2+7. 方程z=在空间解析几何中表示- 94旋转椭球面 椭圆抛物面 旋转抛物面 椭圆柱面 二、填空题 1. 过点M(1,2,3)且与yoz坐标面平行的平面方程为 x=1 2. 若a=4，b=2，ab=42，则ab= 42 3. 点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为 1 三、计算题 x2y2=1+1. 试指出4在平面直角坐标系与空间直角坐标

26、系中分别表示什么图形？ 9x=2 14 x2y2=1x=2+解：4 9y=0x=2故在平面直角坐标系、空间直角坐标系中分别表示点(2,0)、过点(2,0,0)且与z轴平行的直线。 2. 设a=2,-3,1,b=1,-1,3,c=1,-2,0,求(ab)c. 2-31解：(ab)c=1-13=2 1-203. 求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。 解：过点(-1,2,0)且与平面x+2y-z+1=0垂直的直线方程为： x=-1+t其参数方程为y=2+2t 代入平面方程x+2y-z+1=0得 z=-t t=-故投影为(-,) 2 3522333x-3y+1z-3x-1z+2=y

27、+5=4. 求k的值，使直线与直线相互垂直。 2kk+153k-2rr 解：s1=2k,k+1,5 s2=3,1,k-2 令s1s1=0 得 k=四、求平面rr3 4xyz+=1被三个坐标平面所截得的三角形面积，并求abcxyz+=1的距离为 d=abc该平面与三个坐标平面所围的立体体积。 解：点(0,0,0)到平面1111+a2b2c2 V= 111abc=AdA=a2b2+b2c2+c2a2 632 15 * 五、求过点(2,0,1)且与直线2x-3y+z-6=0平行的直线方程。 4x-2y+3z+9=0解：对于直线2x-3y+z-6=0 令其方向向量 4x-2y+3z+9=0r s=2,

28、-3,14,-2,3=-7,-2,8 故所求直线方程为 x-2yz-1= 。 -7-28*5x-3y+2z-5=0六、求证：直线包含在平面4x-3y+7z-7=0之内。请2x-y-z-1=05x-3y+2z-5=0的方向向量为 2x-y-z-1=0r尝试用三种以上方法求解。 解：直线 s=5,-3,22,-1,-1=5,9,1 Qsn=0 rr 直线5x-3y+2z-5=0平行于平面4x-3y+7z-7=0 2x-y-z-1=05x-3y+2z-5=072可求得点(0,-,)在直线上，且在平面4x-3y+7z-7=0内，552x-y-z-1=0故直线5x-3y+2z-5=0包含在平面4x-3y

29、+7z-7=0之内。 2x-y-z-1=0 七、 *a+xb-ap. 1. 设a与b是非零向量，b=1，求limx04xL解：limx0a+xb-axrrrrr2xbb+2xabL=limbcos =prjb=abrarrx02x(a+xb+a)2*2. 求点(2,3,1)关于直线x+7=y+1z+2=的对称点坐标。 23y+1z+2=解：过点(2,3,1)且与直线x+7=垂直的平面方程为： 2316 x-2+2(y-3)+3(z-1)=0(*) x=-7+ty+1z+2=而直线x+7=的参数方程为y=-1+2t 代入平面方程得： 23z=-2+3t t=13 7y+1z+2=的交点为 23132639,-1+,-2+) (-7+777y+1z+2= 由中点坐标公式得：点(2,3,1)关于直线x+7=的对称点坐标为2351743(-13+,) 777故平面x-2+2(y-3)+3(z-1)=0与直线x+7= 17