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1、淮海工学院高等数学目练习与测试集第七章 空间解析几何与向量代数 一、向量代数 、内容要求 理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，自学定比分点公式. 理解向量的概念及其坐标表达，了解向径的坐标表示与点坐标表示之间的关系. 掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表示，自学混合积. 学会用向量代数方法解决有关向量间位置关系的问题. 、基本题型 有关空间直角坐标系下点坐标的问题. 1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A B C D . 2若A(1,-1,3),B(1,3,0)，则AB中点坐标为_；|AB|=_. 3.求(a,b,c)点关于各坐标面；各坐标轴；坐标原点的对称点
2、坐标. 4若点M的坐标为(x,y,z)，则向径OM用坐标可表示为_. 5一边长为a的立方体放置在xoy面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标. 6已知A(-1,2,-4)，B(6,-2,t)，且|AB|=9，求t；线段AB的中点坐标. 有关向量概念及向量线性运算的坐标表示. 7设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算M1M2的模、方向余弦、方向角及单位向量. 8若a,b,g为向量a的方向角，则cosa+cosb+cosg=_； v222sin2a+sin2b+sin2g=_. 9.设m=，n=和p=，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y
3、轴上的分向量. 10已知点P的向径OP为单位向量，且与z轴的夹角为求点P的坐标. 11.已知向量a与各坐标轴成相等的锐角，若|a|=23，求a的坐标. 向量的数量积与向量积及其坐标运算. 1 vvvvrvvp，另外两个方向角相等，6vvv12下列关系式错误的是-. vvv2v2vvvvvvvvA ab=ba B ab=-ba C a=|a| D aa=0. 13设a=，b=，求ab与ab. vvvvvv14.设a=(2,-3,2),b=(-1,1,2),c=(1,0,3)，求(ab)c. 用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影. 15确定下列各组向量间的位置关系：
4、 a=(1,1,-2)与b=(-2,-2,4)； vvvvvvvvvva=(2,-3,1)与b=(4,2,-2). vv16求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影. 用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题. vvvv17已知：OA=i+3k，OB=j+3k，求DOAB的面积. 18DABC三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则如何用向量积的方法来求出DABC的面积？ vv19试找出一个与a=(1,2,1),b=(0,1,1)同时垂直的向量. 、综合计算题型 涉及到代数向量的综合计算问题. 20已知三点M1(2,2
5、,1),M2(1,1,1),M3(2,1,2)，求M1M2M3； 求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量. 21已知A(1,0,0),B(0,2,1)，试在z轴上求一点C，使DABC的面积最小. *、提高题型 用“几何向量”来处理有关向量问题. vvvvvvvvvvvvv22已知：a,b,c为单位向量，且满足a+b+c=0，求ab+bc+ca. vvvvvvvvvvvvvvv23设|a|=3,|b|=4,|c|=5且a+b+c=0，求bc；|ab+bc+ca|. vvvvvvvvvv24设A=2a+b,B=ka+b，已知|a|=1,|b|=2|，且(a,b)=q，0qr0). 简单的二元初等
6、函数极限计算. 4求下列各极限： (x,limln(ex+ey)y)(1,1)1+ln(x+y)； (x,ylimxy+9-3)(0,0)xy+4-2; limx+2y(x,y)(0,0)3x-y. 简单的二元初等函数连续问题. 5是非题： 一切二元初等函数在定义域内都连续. 6求下列函数的间断点： z=lnx2+y2-1; z=1x2-y2 . 、提高题型 10 用定义讨论连续问题. xy22,(x,y)(0,0),7证明f(x,y)=x+y在(0,0)处不连续. 0,(x,y)=(0,0).xy,(x,y)8证明f(x,y)=x2+y2(0,0),在(0,0)处连续. 0,(x,y)=(0
7、,0).二、偏导数 、内容要求 理解二元函数偏导数的概念，记忆偏导与连续的关系. 掌握具有明确解析式的多元初等函数偏导数及二阶偏导数的计算. 掌握二元复合函数一阶偏导数的链式法则，学会计算二阶偏导数. 了解隐函数概念及其存在定理，学会计算一元、二元隐函数一阶偏导. 、基本题型 多元初等函数的偏导计算. 9求下列函数的偏导数或偏导数值: z=ln(xy)，求zx; z=tan2xzy，求x,zy; 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinxy，求fx(x,1); 设u=xyz，求ux(3,2,2), uy(3,2,2), uz(3,2,2); 设z=(1+xy)y，求zx, zy. 10求下列
8、函数的二阶偏导数或偏导数值: 设z=x3y2-3xy3-xy+1，求2zxy，2zyx，fxx(1,0); 设z=arctany2x，求zx2，zxy; 11验证函数z=lnx2+y2，满足方程2z2zx2+y2=0. 复合函数的偏导计算. 12设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求zzx，y. 11 13设z=uv+sin2t，而u=lnt，v=t，求全导数14设z=f(xy,xy)，求22dz. dtzz. ，xy2zzz. .，15设z=xf(sinx,cosy)，求，xyxy216设z=xy+xF(u)，而u=yzz，F(u)为可导函数，求证：x+y=z+xy. xyx17设z
9、=fj(x)+y，其中f,j具有二阶连续偏导数，求zxy. 一元、二元隐函数的偏导计算. 18设siny+e-xy=0，求x2dy. dx19计算二元隐函数的偏导: 设x+y+z-4z=0，求222zz; ，xy设xz=ln，求zx, zy. zy(-az)+coscy(-bz)=0所确定的隐函数z=f(x,y)满足20证明sincxazz+b=c. xy*21设xu-yv=0,uv. ，求，xyyu+xv=1.x+y+z=1,dzdz，求，. 222dydxx+y+z=1.*22设、提高题型 用定义计算分段函数的偏导. x2, x2+y20223证明f(x,y)=x+y2在点(0,0)连续，
10、但fx(0,0)不存在. 0, x2+y2=0较复杂的复合函数二阶偏导计算. 2zx. 24设z=f(x,)，f具有二阶连续的偏导数，求xyy2 12 25设f(x,y)可微，f(1,2)=2,fx(1,2)=3,fy(1,2)=4,j(x)=f(x,f(x,2x), 求j(1) . 混合函数偏导计算. 26设f(x,y,z)=xyz，其中z=z(x,y)由方程x+y+z-3xyz=0确定， 求fx(1,1,1) 2322227设F(u,v)具有连续偏导数，证明由F(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足azz+b=c. xy*28设u=f(ux,v+y)uv，其中具有一
11、阶连续偏导数，求,. f,g2xxv=g(u-x,vy)三、全微分 、内容要求 了解全微分的概念，记忆全微分存在的必要条件和充分条件. 按掌握偏导数计算的要求，掌握全微分计算. 学会用全微分形式不变性计算全微分. 、基本题型 涉及多元函数连续，偏导，全微分关系的选择题. 29记忆下述推理框图： 且偏导连续 z可偏导 z可微 z连续 由此框图可编出许多选择题，请同学们自编自考，并和一元函数连续、可导、可微的关系比较. 全微分的基本计算. 30求下列函数的全微分dz: z=yx+y22 ; z=arcsin22y; x22x+3y+4z=1 ; 13 若xz=ln. zy、提高题型 用定义计算分段
12、函数的全微分. 31(1)设j(x,y)连续，y(x,y)=|x-y|j(x,y)，试研究y(x,y)在(0,0)处的可微性; x2y22,x+y02 (2)设z=x+y2，求dz；并讨论在(0,0)处，函数是否连续？0,x2+y2=0是否可偏导？是否可微？ 四、多元函数微分学的应用 几何问题 、内容要求 记忆曲线在一点处的切向量公式以及曲面在一点处法向量的公式. 学会确定曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程. *理解方向导数与梯度的概念，了解其几何意义，记忆偏导、方向导数、可微的关系. *掌握方向导数与梯度的计算. 、基本题型 参数式曲线方程所确定的曲线在一点处切向量、切线及法平
13、面方程计算. tx=1+t1+t132求曲线y=在点(,2,1)处的切向量、切线及法平面方程. 2t2z=ttp33求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在t=所对应点处的切向量，切22线及法平面方程. 由F(x,y,z)=0或z=f(x,y)所示曲面在一点处法向量、切平面及法线方程计算. 34求球面x+y+z=14在(1,2,3)处的内法向量、外法向量. 35. (7)求曲面e-z+xy=3在点(2,1,0)处的法向量、切平面及法线方程. (7)求曲面z=x+y-5在点(2,1,0)处的法向量、切平面及法线方程. 偏导、可微、方向导数的关系.记忆： 偏导存在 方向导数 全微分
14、 22z222 14 请同学们编出有关选择题. *二元函数沿平面直线方向的方向导数计算；三元函数沿空间直线方向的方向导数计算. 36求函数z=ln(x2+y)在点(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向导数. 37求函数u=xy+e在点P(1,1,0)处沿从该点到点Q(2,0,1)的方向l的方向导数. 38求函数u=xy+z-xyz在点(1,1,2)处沿方向角为a=向导数. *已知函数的梯度计算. 39设f(x,y,z)=x+y+z，求gradf(1,2,3). 40设f(x,y,z)=x+2y+z，求gradf(1,0,1). 、综合计算题型 涉及本节内容与空间解析几何内容的综
15、合计算. 41已知曲面xyz+x(y+z)=a(a0)，求其经过P(-a,a,a)，Q(-a,-a,a)的两个切平面的交线方程. 2322222322zp3,b=p4,g=p3的方14x=t4142求空间曲线y=t3的平行于平面P:x+3y+2z=0的切线方程. 3z=1t22*43求椭球面2x+3y+z=9与锥面z=3x+y的交线C上点M0(1,-1,2)处的切线与法平面方程.请你总结一下曲线*44求函数u=ln(x+向导数. *45求函数f(x,y,z)=x+2y+3z+xy+3x-2y-6z，在点M0(1,1,1)处方向导数的最大值. *46求函数f(x,y,z)=340-x2-2y2-
16、3z2在点M0(-3,3,-2)处沿n的方向导数，其中n为f(x,y,z)=1过M0处的内法向量. *、提高题型 用定义计算方向导数. 47试证明f(x,y)=222222222F(x,y,z)=0的切向量求法. G(x,y,z)=0y2+z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方x2+y2在(0,0)处沿任何方向的方向导数存在，但不可微. 15 难度较大的综合题型. 48过L:x-y+z=0222作与曲面S:x+y-z=1相切的平面，求此平面方程. x+2y+z=1x-ay-b,)=0上任一点处的切平面都通过定点. z-cz-c22249设F(u,v)可微，试证曲面F
17、(22250在椭球面2x+2y+z=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x+y+z沿着点A(1,1,1)到B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值. 极值问题 、内容要求 理解多元函数极值与条件极值的概念. 记忆多元函数极值存在的必要条件，记忆二元函数极值存在的充分条件. 掌握用拉格朗日乘数法计算条件极值及其相应的简单实际的问题. 、基本题型： 涉及到多元函数极值存在的必要条件的问题. 51若f(x,y,z)=x-y+3x+ay-bx在(-3,2)处取得极值，求a,b. 涉及到多元初等函数极值充分条件的问题. 52求函数f(x,y)=4(x-y)-x-y的极值. 53求函数f(x,y)=ex
18、-y223322(x2-2y2)的极值. 涉及到一个条件的条件极值的问题. 54若111+=(x,y,a0)，求z=xy的极小值. xya、综合应用题型 非条件极值的应用题. 55有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大？ 56设Q1,Q2依次为商品甲、乙的需求量，Q1=8-p1+2p2,Q2=10+2p1-5p2，又设总成本函数C=3Q1+2Q2，其中p1,p2依次为商品甲、乙的价格，问p1,p2取何值时，可使总利润最大？ 涉及拉格朗日乘数法的综合题型. 57求原点到曲面(x-y)-z=1的最短距离. 58将周长为2p的矩形绕它的
19、一边旋转而构成一个圆柱体.问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？ 59要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使这16 22的表面积最小？ 60某厂生产两种产品，产量分别为Q1,Q2，总成本函数 C=5Q1+2Q1Q2+3Q2+80 若两种产品共生产39件，问Q1,Q2取何值时，可使总成本最大？ 61(7) 某公司可以通过电台与报纸两种方式作销售广告.根据统计资料，销售收入R与电台广告费用x1及报纸广告费用x2之间的关系有如下经验公式： 22R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x1-10x2 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略; 若提供的广告费
20、用为15万元，求相应的最优广告策略. 62设在x轴的上、下两侧有两种不同的介质和.光在两种介质中的传播速度分别是v1和v2，又设点A在内，点B在内，要使光线从A到达B所用的时间最短，问光线应取怎样的路径？ 、提高题型 涉及到多元隐函数极值的问题. 63求由方程x+y+z-2x+2y-4z=10确定的函数z=f(x,y)的极值.你能用两种方法求解吗？ 多元函数的最值问题. 2264求函数z=x+y在圆域(x-2)+(y-2)9上的最值. 222222265求函数f(x,y)=xy(4-x-y)在由直线x=1,y=0及x+y=6所围成的闭区域上的最值. 17 第八章 测试题 一、选择题: 1. z
21、=f(x,y)各偏导存在是该函数可微的-. A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件. x2-y22. 设f(x+y,x-y)=，则f(x,y)=-. 2xyA xy2xy4xyxy B C D . x2-y2x2-y2x2-y22(x2-y2)y3. 设z=x，则dz=-. AyxCyxy-1dx Bxylnxdy y-1dx+xylnxdy Dxylnxdx+yxy-1dy. 4. 设函数z=f(x,y)在点处具有偏导数，则fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0是该函数在取得极值的-. A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分且必要条件 D
22、既不充分也不必要条件. 5. 设函数u=f(t,x,y)，而x=x(s,t),y=y(s,t)均有一阶连续偏导数，则Au. =tfxfyffxfy+ B+ xtyttxtytufxfyffxfy+ D+. txtyttxtysC6. 上半球面z=A-9-x2-y2在点(1,2,2)处的法向量可选为-. 1111,1,1 B-,-1,1 C,-1,1 D,1,1. 22227. 设x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，则xyz=-. yzxA-1 B0 C1 D不确定，随F不同而变化. 18 二、填空题: 函数z=4x-y
23、21. ln(1-x2-y2)的定义域为_. 2. z=ln(1+x2+y2)，则dz(1,2)=_. x=t-sint3. 曲线y=1-cost在t=p所对应点处的切线方程为_.t2 z=4sin2三、计算题: 1. 设z=fj(x),j(y)，其中f,j二次可微，求z2x,zxy. 2. 设z=z(x,y)由x2y-2ysinz+ez=1所确定，求zy. 3. 设z=tan(3t+2x2-y)，而x=1t,y=t，求z关于t的全导数dzdt. *4. 求函数z=x2-xy+y2在点(1,1)处方向导数的最大值及相应的方向. 19 四、曲面x+2y+3z=1在第一卦限哪一点的法线垂直于平面x
24、+4y+3z=8. 五、设z=222y1z1zz+=. ，其中具有连续导数，求证：f222f(x-y)xxyyy 六、要制作一个圆柱形的帐篷，并给它加一个圆锥形的顶.问：在体积为定值时，圆柱的半径R，高H与圆锥的高h三者之间满足什么关系时，可使所用布料最省？ 七、： 1. 当x0,y0,z0，求f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz在球面x+y+z=6R上的最大值，并由此证明：当a,b,c为正数时，不等式abc108( *2. 证明曲面f(ax-bz,ay-cz)=0上任一点处的切平面都与某条定直线平行，其中f具有连续偏导数. 232222a+b+c6)成立. 620 第九章 重积分 一
25、、二重积分 、内容要求 理解二重积分的概念，了解二重积分性质，记忆二重积分奇偶对称性性质. 掌握二重积分的计算方法. *学会用重积分表示一些简单的几何量和物理量. 、基本题型 涉及重积分性质的客观题. 1利用二重积分的估值定理估计I=(2x+y+1)ds，其中 D22(x-y)ds与DD=(x,y)|0x1,1y3. 2设D是以点(0,0),(1,-1)及(1,1)为顶点的三角形区域，试比较Dx2-y2ds的大小. 3记忆以下二重积分奇偶对称性性质： 当积分域D对称于x轴时，令D是D关于x轴某一侧的部分，f(x,y)为D上的连续函数，则有 D2f(x,y)ds,若f(x,-y)=f(x,y)关
26、于y为偶f(x,y)ds=D; 0,若f(x,-y)=-f(x,y)关于y为奇当积分域D对称于y轴时，令D是D关于y轴某一侧部分，则有 D2f(x,y)ds,若f(-x,y)=f(x,y)关于x为偶f(x,y)ds=D; 0,若f(-x,y)=-f(x,y)关于x为奇当积分域关于原点对称时，若f(-x,-y)=-f(x,y)，则有4利用二重积分奇偶对称性性质解下列各题： f(x,y)ds=0. D设D=(x,y)|0x2,|y|1，D=(x,y)|0x2,0y1，则下列各式成立的是-. AC222 Bsin(xy)ds=0sin(xy)ds=2sin(xy)ds DDD222 Dsin(xy)
27、ds=0sin(xy)ds=2sin(xy)ds. DDD(2)设D=(x,y)|x|+|y|1，则32sinxcosydxdy=_. D 21 涉及二次积分交换次序的客观题. 5改变下列积分的积分次序： 20edy2f(x,y)dx; y2y11dxlnx0f(x,y)dy; f(x,y)dx; 22dy0122y-y2y1dy1f(x,y)dx+dyf(x,y)dx. y1y2直角坐标下简单的二重积分计算. 6设D=(x,y)|axb,cyd，f1(x)与f2(y)为D上的连续函数，求证：f(x)f1D2(y)ds=f1(x)dxf2(x)dx. acbd7用6的结论计算p2x，其中D=(x,y)|0x1,0y. esinyds2D8计算下列二重积分： xcos(x+y)ds，其中D是顶点分别为(0,0),(p,p)和(p,0)的三角形闭区域; DxDyds，其中D是由两条抛物线y=x,y=x2所围成的闭区域; DDx2ds，其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域; y22x=y，其中是由及x-y-6=0所围成的闭区域. ydsD、综合计算题型 交换次序后的二重积分计算. 9求下列二重积分： dx011xey-y2dy; 10dyysinxdx. 2x-x极坐标下简单的二重积分计算. 10计算下列二重积分： eDx2
