《湘潭大学高等数学第三章答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘潭大学高等数学第三章答案.docx（71页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、湘潭大学高等数学第三章答案习题3.2 二重积分的计算 A组 1、 计算下列二重积分： ds，其中D=(x,y)|x1,y1 22D(x+2xy+y)ds，其中D=(x,y)|0x1,0y1 2Dxyds，其中D是由直线y=1-x与x轴、y轴围成的区域 D(4) Dxy22ds,其中D是由y=111x，x=2,y=x所围成的区域 1dxdy=解 原式=-1-1222-1(123(13+2y)dy=+2y)dy=28343原式=1010(x+2xy+y)dxdy=1320原式=101-x0xydydx=x-2x+x230dx=124原式=21x1xxy2dydx=221(x-x)dx=942、画出
2、积分区域，并计算二重积分 dxdy,其中D是由直线y=2x,x=2y,x+y=3所围成的区域 Dxy2ds，其中D是由圆周x+y=4及y轴所围成的右半区域 xyds，其中D由抛物线y=D22x,y=x与围成的区域 2解 原式=SD=24-y23222(2)原式=-20xydxdy=-2(2y-2y42)dy=6415655原式=10x2xxydydx=23170(x4-x)dx=43、证明：若D关于y轴对称，f(x,y)关于x是奇函数，则f(x,y)dxdy=0 D(2)若f(x,y)关于x是偶函数，且D=D1D2,D1与D2关于y轴或x轴对称，则Df(x,y)dxdy=2f(x,y)dxdy
3、 D1证明 这里只证明D关于y轴对称的情况，记D在y轴左右两侧的区域分别为D1、D2，则 Df(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy-D1f(x,y)dxdy+D2f(u,v)dudv=D1D1f(-x,v)(-dx)dv=D1f(x,y)dxdy-D1f(x,v)dxdv=0 若f(x,y)关于x是偶函数， Df(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy-D1f(x,y)dxdy+D2f(u,v)dudv=D1D1f(-x,v)(-dx)dv=2f(x,y)dxdy D14、交换下列二重积分的积分次序 dxf(x,y)dy， dy0001x11-yy-12f(x,y)dx， 2dx-101+
4、x0f(x,y)dy+1110dx1-x0f(x,y)dy dx011-x1-xf(x,y)dy 解 原式=dyf(x,y)dx 0y原式=原式=原式=0-101x+1f(x,y)dydx+f(x,y)dxdy 2011-x0f(x,y)dydx 011-yy-11-y01-yf(x,y)dxdy 5、在极坐标系下计算下列二重积分 eD-3(x+y)22dxdy，其中D是由x+y222=a围成的区域 22sin(x+y)dxdy，其中D=(x,y)|p2Dx+y224p2 dxdyD1-x-y22,其中D=(x,y)|x2+y21 422(4) Darctanyxdxdy，其中D是由x+y22
5、=4，x+y=1及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域。 解 原式=原式=2p2p0dq2pa0e-3r2rdr=2p2a0e-3r2rdr=2p3(1-e-3a2) 0dqprsinrdr=2p2pprsinrdr=p(cosp2-cos(2p) 2原式=2p102rdrdq1-r210=2p2rdr1-r20p p原式=4021rarctan(rsinqrcosqp)drdq=0421rqdrdq=3p642B组 1、 选用适当的坐标计算下列二重积分： xydxdy，其中D=(x,y)|y0,x2+y21,x2+y2-2x0 DxeDxydxdy，其中D=(x,y)|0x1,-1
6、y0 dxdy，其中D=(x,y)|x+y1 22eDx+yeDmax(x,y)dxdy，其中D=(x,y)|0x1,0y1 y-xdxdy，其中D=(x,y)|-1x1,0y1 2D(x+y)dxdy，其中D=(x,y)|x+y1 D12x-x1-x22解 原式=1原式=原式 =0-1-1-xx+112xexydydx+1122x-x20xydydx=1e112(x-2x2)dx+21(x-2x32)dx=254800xy-1dydx=0(1-e-x)dx= ex+ydydx+10211-xx-1ex+ydydx=y0-1(e2x+1-1e)dx+e(e01x1-x-ex2x-1)dx=e-
7、1e原式=原式=原式 =0x0edydx+2x010ey2dxdy=2110x0edydx=2xe0x21dx=e-1 12x41x-10(x-y)dydx+21-1x(y-x)dydx=221x4-12dx+1-1(-x+22)dx=11150111-x0(x+y)dydx+2010x-1(x-y)dydx+020x+1-10(y-x)dydx+4300-1-1-x-(x+y)dydx=02x(1-x)+(1-x)dx+-1(x+1)-2x(x+1)dx= 2、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,求limx+yt2f(x+y)dxdy2222t0pt3。 解 对分子上的积分利用极坐标变换，
8、原式 =lim2p0dqf(r)rdr0tt0tpt2p3=lim0f(r)rdrt0tpto3= lim2f(r)rdrt3t0=lim2f(t)t3t2t0=lim2f(t)3tt0=lim2f(t)3t0=23f(0) x2y,1x2,0yx3、设f(x,y)=，求二重积分0,其他D=(x,y)|x+yDf(x,y)dxdy，其中222x 2x2x-x2解 由题意，f(x,y)dxdy=D1xydydx=(x-x)dx=1224349204、证明dye00ayam(a-x)f(x)dx=(a-x)e0m(a-x)f(x)dx 证明 积分区域由y=a,y=x和y轴围成，由y型区域转化为x型
9、区域有，左端=0aaxem(a-x)f(x)dydx=a0(a-x)em(a-x)f(x)dx=右端。 5、设闭区域D=(x,y)|x2+y2y,x0，f(x,y)为D上的连续函数，且f(x,y)=1-x-y22-8pDf(u,v)dudv，求f(x,y). 解 对f(x,y)在D上积分，有 Df(x,y)dxdy=D1-x-ydxdy-228pDf(u,v)dudvSD=D1-x-ydxdy-f(u,v)dudvD22于是f(u,v)dudv=12DD21-x-ydxdy=82212p02sinq0r1-rdrdq=2389p212p21-cosq330dq=p12-19所以f(x,y)=
10、1-x-y-2p12(p-19)=1-x-y-22+ 习题3.3 反常积分 A组 1、 计算下列反常积分： +0e-axdx 11x4-dx +0xe1a-x2dx +11+x2-dx 解 原式=limb+4b0e-axdx=lim1-eaabb+=(这里a0,x+根据保号性，存在x0,d0,当0q-dx则+0c2,f(x)dxqq+d-dc2dx=+，与已知矛盾，从而limf(x)=0x+3、 (P276-9)证明：若+af(x)dx收敛，且f(x)在a,+）上一致连续，则必有limf(x)x+=0 证明：用反证法 4、试求下列反常积分的值： +12n0dx +p0e-xsinxdx 2ln
11、(sinx)dx 0解： p令x=tanq,则原式=201secqpdtanq=2n201secqpdq=2n-220cosq2n-2dq=(2n-3)!p(2n-2)!2(2) 习题3.5B组 解：令un=ann+l2212(an+121n+l12)，1 而已知an收敛，21时，绝对收敛 当0P1时，条件收敛 正确 与同理解： 当n1时，0sin( 且有un=sin(p22n)1,故sin(n=1p2n)为正项级数p2n)pn, 根据等比数列的求和公式知，n=1p2n=p收敛， 则由比较判别法知sin(n=1p2n)收敛。令un=sin,vn=，nnsinn=1 因为lim，则un与vn有相
12、同的敛散性，n1n=1n=1n111 因调和级数n=11发散，由比较判别法的极限形式知，sin发散。nnn=11令un=n22n,limun+1unn=lim22n+1n2nn2=121, 由比值判别法知，原级数收敛。 令un=2n-1lnn3n-1n3n-1）2-1nn2n-1 =li令un=(-1)n3n2n,un=3n2n,而limun+1unn=121, 由比值判别法知，原级数绝对收敛。 令un=(-1)nn3n+11,因为limun0，故原级数不收敛。n limun+1unn=limpnn+1sin(pp)1n+1=limpn)1n+1p1pn+1=11时，级数un收敛；n=1 当r
13、,发散n+1n+1n=2n+1ln(n+1) 由比较判别法知，n+1发散，从而原级数发散；n=2 当t=1时，x=0,此时，原级数=nln22+n=2(-1)nln(n+1)n+1ln(n+1) 由莱布尼茨定理知，(-1)n+1收敛，从而原级数收敛n=2 综上，收敛域为令an= 则limn!2(2n)!=lim(n+1)!(2n)!(n!)(2n+2)!2n22an+1annn=lim(n+1)2n(2n+2)(2n+1)=14,故R=4, 当x=4时，因lim40,故原级数不收敛n！ 从而，收敛域为 解： 由liman+1an=1，R=1n 当x=1时，因limn(n+1)0,故原级数不收敛
14、n 从而，收敛域为 令S(x)=xn(n+1)xn=1n-1=xf(x),对f(x)两次求积分得：n-1 f(x)dx=0xn=1nx0n(n+1)xdx=x2(n+1)xn=1n x0(n+1)xn=1dx=n=1xn+1=1-x=g(x)2=f(x) 对g(x)两次求导，得g(x)=2x(1-x)33 则和函数S(x)=xf(x)=(1-x),x(-1,1)由liman+1(x)an(x)n=x41，R=1, 当x=1时，级数发散，故收敛域为 对S(x)求导得：S(x)=xn=14n=11-x124(x1) 则S(x)=x011-x4dx=14ln1+x1-x+arctanx(x1)n+1nS(x)=2n=0x-nn=0x=2(2x)-n=0nn=0x=2f(x)-g(x)n11 分别求出f(x),g(x)的收敛域为和，2211 故S(x)的收敛域为22 直接运用等比数列求出f(x)=111-2x,g(x)=11-x11 则S(x)=2f(x)-g(x)=,x(1-2x)(1-x)22 证明：ln(1+x)=(-1)n=1nxnnn(泰勒展开)nnxn-12n-1x 那么ln(1-x)=(-1)=(-1)=-nnn=1n=1n=1n10 从而ln(1-x)xdx=-10n=1xn-1ndx=-n=110xn-1ndx=-(n=1xnn21)=-0n=11n2
