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1、焦半径公式的证明焦半径公式的证明 椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2|F1F2|=2c）的动点轨迹. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程之嫌. 里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一
2、定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 已知点P是椭圆上任意一点，F1和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代于并化简，得 1 |PF1|= (-axa) 同理有 |PF2|= 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 (-axa) r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P横坐标的一次函数. r1是x的增
3、函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1，F2的距离的和为2a.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 问题是求r1=f和r2=g.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和
4、r2. 依题意，有方程组 -得代于并整理得r1-r2= 联立，得 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 三、 焦半径公式与准线的关系 2 用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P是以F1为焦点，以l1： x=-为准线的椭圆上任意一点.PDl1于D.按椭圆 的第二定义，则有 即r1=a+ex,同理有r2=a-ex. 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性. 缺乏定义的“客观性”. P是以F1，F2为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一
5、点.直线l为x=-，PD1l交l于D1. 求证：. 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex. 对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+. 故有. 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F2c,0）的距离之比为定值e. 四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 (l2：x=) 3 现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生. 其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明. 设点P适合方程0）的距离之和为2a. 222.求证：点P到两定点F1和F2到F1的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知 r1=a+ex 同理还有 r2=a-ex + 得 r1+r2=2a 即 |PF1|+|PF2|=2a. 即P到两定点F1和F2的距离之和为2a. 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便. 4
