物理竞赛辅导力学.docx

《物理竞赛辅导力学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《物理竞赛辅导力学.docx（57页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、物理竞赛辅导力学力学 1 直线运动 题型讲解： 例1：如图1所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方P处有一质点.现要确定一条从P到球面光滑斜面轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到球面上所经时间最短. 解析：此题求解关键是：根据点从竖直圆的顶点开始，沿圆内任一弦下滑，经历的时间都相等这一结论，找到一个顶点是P且与固定球面相切的球面M，这样质点从P点与两球切点连线的弦上下滑所经历的时间就最短.(质点沿其他弦下滑时，经历的时间除沿弦下滑的时间外，还要再加上从球面M到固定球面的一段时间). 先证明这样一个问题：设地面附近有一空心球，顶点P上有众多的光滑斜直轨道与球面上其他点相连，试证明质点从P点自静止

2、出发经任一轨道再到达球面所需时间相同. 证明：如图2所示，取任一与水平线夹角为的轨道PQ，其长为 l=2Rsin 此处R为球半径.质点沿PQ轨道下滑的加速度为gsin，因此从P到Q所需时间为 t=2. 图2 该t与轨道参量无关，故任一轨道对应时间相同. 根据上述结论，本题只要以P点为顶点作一球面，使其与题中固定球面相切，从P点到切点Q的光滑斜直轨道为所求.下面给出的是过P且与固定球面相切的球面的作法： 图3：所示，原球面球心记为O，半径记为R.设O、P所在竖直平面即为图示的纸平面，在该竖直面上过P点作一条竖直线AB，且使PA长等于R.连结O、A两点，作直线段OA的中垂线，此中垂线与AB的交点O

3、即为待作新球面的球心，O到P点的距离取为新球面的半径R.这样作出的新球面O与原球面O相切于Q点，P到Q的光滑斜直线轨道即为所求. 例2：老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时的速度是 .从甲到乙用去的时间是 . 图3 解析：由于老鼠的运动速度与到洞穴的距离成反比，故可通过画-d图象，把反比例图象转化成线性图象，进而求出时间.本题也可以直接应用数学积分知识进行求解. 设老鼠离开洞穴的距离为d，运动的速度为v，则v=，k为反比例常数.根据题意d=d1时，v=v1，则k=d1v1.故d=d2时，v=v2满足

4、v2=v1. 为求老鼠从甲到乙用用时间，根据分析提出的求解思路如下： (1)图象法.建立图4，所示的-d图象，则图象上任意小的面积(图中阴图4 影部分)其物理意义就是老鼠在经历任意短的距离d时用去的时间，因为这任意短的距离中，老鼠的速成度可视为不变，则t=d，这正是图象阴影面积中的长和宽的乘积.这样图象与d轴包围象与d轴包围的面积可视为由无数个图中阴影面积所组成，也就是说，图在从d1至d2图象与d轴包围的梯形面积就是所求的老鼠用去的时间。 t=(+)(d2d1)=(d1+d2)(d2-d1)=. (2)积分法.在老鼠前进中，任意短的时间间隔T至T+dt内的路程为dx，速度为v，则从甲至乙的时间

5、 t =dx=(d-d)=. 例3：有两把齿能不同的梳子，其中一把每厘米有4个齿，另一把每厘米有5个齿.今将其重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现.如果把其中的一把梳子以1cm/s的速度移动，问亮光部位将以多大的速度移动？ 解析：如图5，我们以黑白两色的梳子表示题述的两梳子.它们重叠在一起，其中白色梳子每厘米有5个齿.图中A处两梳子的齿刚好重叠在一起.显然，两梳子的齿重叠后，在A处附近透光的间隙较多，透过它去看亮光，这里就是一个“亮段”的中心.而图中B处两梳子的齿相互错开的距离最大，这里能透光的间隙就是最少，故此处是一个“暗段”的中心.当两梳了间有相对运动时，这些

6、亮段图5 和暗段会随之移动.明显可以看到，当发生移动时，亮段和暗段的移动速度是相同的。以下我们仅讨论亮段的移动速度. (1)当白色梳子不动，黑色梳子以速度v=lcm/s向右移动.设原来黑、白色梳子的对应两齿刚好在A处重叠，则由于黑色梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处右侧的那个黑色梳齿和白色梳齿重叠，这相当于上述的亮段的中心由A处移至A右侧第一个白色梳齿处.由此，这段移动的距离为白色梳子的齿距，即s1=cm. 这一过程中黑色梳子移动的距离为黑白两梳子的齿距之差，即 s=-=(cm) 以v1表示此时亮段移动工速度，乃有=，所以 v1=v=5(cm/s) 由上叙述中还可以看到，此时亮段移动速度主向是

7、向右的，即亮段移动速度方向与移动的梳子(黑梳子)的移动速度方向是相同的. (2)当黑色梳子不动而白色梳子以速度v=lcm/s向右运动时，同样设原来黑白梳子对应的两齿刚好在A处重叠，则由于白梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处左侧的那个黑色梳齿和白色梳齿和白色梳齿相生叠.这相当于上述的亮段的中心由A处移至A左侧第一个黑色梳齿处，这一过程中亮段移动的距离为黑色梳子的齿距，即s2=cm. 这一过中的色梳子移动的距离为黑、白两梳子的齿距之差，即s=cm. 以v2表示此时亮段移动的速度，乃有=.所以 v2=v=1=4(cm/s) 由上叙述还可以看到，此时亮段移动的速度方向是向左的，即亮段移动速度方向与移动

8、梳子(白梳子)的移动速度方向是相反的. 例4：如图6所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过强及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升.当图中角度为时，珠子D上升的速度v2多大？ 解析：珠子D作变速直线运动，但在极短时间内却可视为匀速运动，适当进行小量处理即可求解. 用微元法取，极短时间t进行分析如图7所示珠子C下落的距离=v2t，取F点，使与=之间的夹角应为无穷小量.过C点作，而=，绳总长不变，故有=v1t，上升的距离平行于，在中.又因为很小，所以等腰CEF的底角可近似看作90，于是有 (

9、v1t+v2t)cos=v1t， v2=v1. 图6 图7 点评：这种解法具有典型性，此题不可以将珠子C假想为一个滑轮，然后将重心移至滑轮来进行研究.这上一种不常见的解法，但有时常可以使难题得以简化. 例5：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮绕O轴以匀解速转动，如图8所示，在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为，试求此瞬时顶杆AB的速度. 解析：速度求解通常有两条基本思路：一是根据定义；二是应用速度合成原理.前者求解关键是质点的空间位置关系要弄清，后者是描述速度的参照物要明确. 方法1.根据定义求解. 图8 t时刻顶杆与凸轮的接触点为A，经t时间，即t+t时

10、刻，接触点为凸轮上的A点(在t时间内凸轮转过解)，如图9所示， r=r(t+t)-r(t)=rtan. 因此，有 vA=r tan=rtan. 图9 方法2.应用速度合成原理求解. 取动坐标系固连在凸连在滑槽K上，动点A(也就是顶杆AB)相对定坐标系的运动是竖直的直线运动，动点A相对动坐标系的轨迹就是凸轮的轮廓线.因此，动点A对定坐标系的速度vA、动占对动坐标系的速度vr和动坐标系上与动点A重合点的速度ve三者，根据相对运动的速度关系应组成三角形，见图10，因此有 vA=vctan=rtan. 图10 例6：如图11所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h.轨道上有两个物体A和B，它们

11、通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接.物体A在下面的轨道上以匀速率v运动.在轨道间的绳子与轨道成30角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离.设绳长BO远大于滑轮直径.求： (1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向； (2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间. 解析：水滴P脱离绳子时的速度可以驼过水滴P在垂直绳上的分速度求解.这个分速度与物块B在垂直绳方向的图11 分速度有联系，因为这两个分速度都是绕滑轮O转动的线速度，它们有相同的角速度. (1)物体B在上轨道的运动可以看成是沿绳子的运动和垂直于绳子的运动(即绳子绕O点的转动)的合成. B沿绳子运动的分速度

12、vB/=v，因而垂直于绳子的分速度vB=vtan(为BO与轨道夹角，这里=30)，如图12所示. 图12 绳子中点小水滴P的速度也可分解成沿着绳子的分速度和垂直绳子的分速度，即 vp/v，vp=vtan. 小水滴P垂直绳子的分度可看做绳子绕O点转动，设该时刻绳子转动的角速度为，则有 =vp/(/2)=vB/. 从而有 vp=vB/2=(vtan)/2. 于是有 tan=(tan)/2=/6. 则 =arctan(/6). 角是vp与的夹角，vp与水平方向的夹角为30-. 水滴离开绳子的速度大小为 vp= = =v =v. (2)由30可知，水滴P做斜向下抛运动，P在竖直方向的分运动是初速度为v

13、PyO、加速度为g的匀加速直线运动，则有 vPyO=vsin-vPcos=v(sin-tancos/2)=v/4. 因而 h=vt+gt2. 由此方程可解出t，取t为正值的解，得 t=. 知识方法： 一、参考系、质点 为了描述物体的位置，必须选定一些物体作参考，这些被选作参考的物体称为参考系。世界上一切物体都处于不停的运动之中，绝对不动的物体是没有的，这就是运动的绝对性。但由于参考系的选择是任意的，而运动描述又必须在选定了参考系之后才有意义，因此运动的描述是相对的，这就是描述运动的相对性的含意。 为了定量地描述物体的位置，就要在参考系上选定坐标系，即将参考系抽象成坐标系，最常用的是直角坐标系。

14、 任何实际的物体都有一定的形状和大小。但是在具体的问题中，有时可以忽略物体的形状和大小，而把它们看作是具有一定质量的几何点，称为质点。质点是实标物体的理想化模型。在物理学中常用理想模型代替实际研究以象，以突出其主要性质而忽略其次要因素。同一个物体有时能视为质点有时又不能，决定于所研究的问题。 二、位置、位移和路程 位置是运动质点在某一时刻的空间处所.在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标(x，y，z)来表示.在定量计算时，为了使位置的确定和位移的计算一致，人们还常引入位置矢量(简称位矢)的概念.在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P(x，y，z)所引的有向线段，其大小为，其方

15、向自原点指向质点P. 位移指质点运动过程中，在一段时间t内位置的变化，即位矢的增量s=r(t+t)-r(t)，它的方向自始位置指向末位置.在直角坐标系，在计算位移时，通常先求x轴、y轴、z轴三个方向上的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移. 路程是指质点在t时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量，只有在单方向的直线运动中，路程才与位移的大小相等. 三、速度与速率 速度和速率是描述质点运动快慢的物理量. 1平均速度和平均速率 平均速度是质点在一段时间内通过的位移与所用时间之比，即=. 平均速度是矢量，方向与位移s的方向相同. 平均速率是质点在一段时间内通过的路程和所用的时间的比值，是标量. 2即时

16、速度和即时速率 即时速度是质点在某一时刻或某一位置时的速度，它定义为t0时平均速度的极限，简称速度，即v=. 即时速度是矢量，它的方向就职平均速度极限的方向，即时速度的大小称即时速率，简称速率. 四、加速度 加速度是描述运动变化快慢的物理量，它等于速度对时间的变化率，即a=. 从上式求得的实际上是质点运动的平均加速度，依平均速度瞬时速度知识可得即时加速度为a=. 五、匀变速直线运动 加速度恒定不变的直线运动称匀变速直线运动.设x轴沿v0 方向，则 v=v0+at， x=x0+v0t+at2， v2=v+2a(x-x0) 六、运动的合成法则 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法

17、则。我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度，由：v甲对乙=v甲对丙+v丙对乙 的矢量关系，可得： v绝对=v相对+v牵连。 位移、加速度之间也存在类似关系。但要注意具体运算是按平行四边形法则或三角形法则进行的。只有在一条直线上，矢量式才可化为代数式。另外，研究复杂运动时，常把它分解为两个或几个简单的分运动来研究，任何一个方向上的分运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的分运动是否存在而受到影响，这叫做运动的独立性原理，如平抛运动就可看作互不影响的水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。 七、物系相

18、关速度 正确分析物体(质点)的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用： 1刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度； 2接触物第在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同； 3线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和。 具体解题时如能充分利用这三类相关速度的特征，并合理运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有章可循了。 题型讲解： 例1：如图1所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方P处有一质点.现要确定一条从P到球面光滑斜面轨道，使质点从静止开始沿轨道

19、滑行到球面上所经时间最短. 解析：此题求解关键是：根据点从竖直圆的顶点开始，沿圆内任一弦下滑，经历的时间都相等这一结论，找到一个顶点是P且与固定球面相切的球面M，这样质点从P点与两球切点连线的弦上下滑所经历的时间就最短.(质点沿其他弦下滑时，经历的时间除沿弦下滑的时间外，还要再加上从球面M到固定球面的一段时间). 先证明这样一个问题：设地面附近有一空心球，顶点P上有众多的光滑斜直轨道与球面上其他点相连，试证明质点从P点自静止出发经任一轨道再到达球面所需时间相同. 证明：如图2所示，取任一与水平线夹角为的轨道PQ，其长为 l=2Rsin 此处R为球半径.质点沿PQ轨道下滑的加速度为gsin，因此

20、从P到Q所需时间为 t=2. 图2 该t与轨道参量无关，故任一轨道对应时间相同. 根据上述结论，本题只要以P点为顶点作一球面，使其与题中固定球面相切，从P点到切点Q的光滑斜直轨道为所求.下面给出的是过P且与固定球面相切的球面的作法： 图3：所示，原球面球心记为O，半径记为R.设O、P所在竖直平面即为图示的纸平面，在该竖直面上过P点作一条竖直线AB，且使PA长等于R.连结O、A两点，作直线段OA的中垂线，此中垂线与AB的交点O即为待作新球面的球心，O到P点的距离取为新球面的半径R.这样作出的新球面O与原球面O相切于Q点，P到Q的光滑斜直线轨道即为所求. 例2：老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到

21、洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时的速度是 .从甲到乙用去的时间是 . 图3 解析：由于老鼠的运动速度与到洞穴的距离成反比，故可通过画-d图象，把反比例图象转化成线性图象，进而求出时间.本题也可以直接应用数学积分知识进行求解. 设老鼠离开洞穴的距离为d，运动的速度为v，则v=，k为反比例常数.根据题意d=d1时，v=v1，则k=d1v1.故d=d2时，v=v2满足v2=v1. 为求老鼠从甲到乙用用时间，根据分析提出的求解思路如下： (1)图象法.建立图4，所示的-d图象，则图象上任意小的面积(图中阴图4 影部分)其物理意义就是老鼠在

22、经历任意短的距离d时用去的时间，因为这任意短的距离中，老鼠的速成度可视为不变，则t=d，这正是图象阴影面积中的长和宽的乘积.这样图象与d轴包围象与d轴包围的面积可视为由无数个图中阴影面积所组成，也就是说，图在从d1至d2图象与d轴包围的梯形面积就是所求的老鼠用去的时间。 t=(+)(d2d1)=(d1+d2)(d2-d1)=. (2)积分法.在老鼠前进中，任意短的时间间隔T至T+dt内的路程为dx，速度为v，则从甲至乙的时间 t =dx=(d-d)=. 例3：有两把齿能不同的梳子，其中一把每厘米有4个齿，另一把每厘米有5个齿.今将其重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替

23、出现.如果把其中的一把梳子以1cm/s的速度移动，问亮光部位将以多大的速度移动？ 解析：如图5，我们以黑白两色的梳子表示题述的两梳子.它们重叠在一起，其中白色梳子每厘米有5个齿.图中A处两梳子的齿刚好重叠在一起.显然，两梳子的齿重叠后，在A处附近透光的间隙较多，透过它去看亮光，这里就是一个“亮段”的中心.而图中B处两梳子的齿相互错开的距离最大，这里能透光的间隙就是最少，故此处是一个“暗段”的中心.当两梳了间有相对运动时，这些亮段和暗图5 段会随之移动.明显可以看到，当发生移动时，亮段和暗段的移动速度是相同的。以下我们仅讨论亮段的移动速度. (1)当白色梳子不动，黑色梳子以速度v=lcm/s向右

24、移动.设原来黑、白色梳子的对应两齿刚好在A处重叠，则由于黑色梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处右侧的那个黑色梳齿和白色梳齿重叠，这相当于上述的亮段的中心由A处移至A右侧第一个白色梳齿处.由此，这段移动的距离为白色梳子的齿距，即s1=cm. 这一过程中黑色梳子移动的距离为黑白两梳子的齿距之差，即 s=-=(cm) 以v1表示此时亮段移动工速度，乃有=，所以 v1=v=5(cm/s) 由上叙述中还可以看到，此时亮段移动速度主向是向右的，即亮段移动速度方向与移动的梳子(黑梳子)的移动速度方向是相同的. (2)当黑色梳子不动而白色梳子以速度v=lcm/s向右运动时，同样设原来黑白梳子对应的两齿刚好在A

25、处重叠，则由于白梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处左侧的那个黑色梳齿和白色梳齿和白色梳齿相生叠.这相当于上述的亮段的中心由A处移至A左侧第一个黑色梳齿处，这一过程中亮段移动的距离为黑色梳子的齿距，即s2=cm. 这一过中的色梳子移动的距离为黑、白两梳子的齿距之差，即s=cm. 以v2表示此时亮段移动的速度，乃有=.所以 v2=v=1=4(cm/s) 由上叙述还可以看到，此时亮段移动的速度方向是向左的，即亮段移动速度方向与移动梳子(白梳子)的移动速度方向是相反的. 例4：如图6所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠

26、子C穿过强及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升.当图中角度为时，珠子D上升的速度v2多大？ 解析：珠子D作变速直线运动，但在极短时间内却可视为匀速运动，适当进行小量处理即可求解. 用微元法取，极短时间t进行分析如图7所示珠子C下落的距离=v2t，中取F点，使与=之间的夹角应为无穷小量.过C点作，而=，绳总长不变，故有=v1t，上升的距离平行于，在.又因为很小，所以等腰CEF的底角可近似看作90，于是有 (v1t+v2t)cos=v1t， v2=v1. 图6 图7 点评：这种解法具有典型性，此题不可以将珠子C假想为一个滑轮，然后将重心移至滑轮来进行研究.这上一种不常见的解法，

27、但有时常可以使难题得以简化. 例5：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮绕O轴以匀解速转动，如图8所示，在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为，试求此瞬时顶杆AB的速度. 解析：速度求解通常有两条基本思路：一是根据定义；二是应用速度合成原理.前者求解关键是质点的空间位置关系要弄清，后者是描述速度的参照物要明确. 方法1.根据定义求解. 图8 t时刻顶杆与凸轮的接触点为A，经t时间，即t+t时刻，接触点为凸轮上的A点(在t时间内凸轮转过解)，如图9所示， r=r(t+t)-r(t)=rtan. 因此，有 vA=r tan=rtan. 图9 方法2.应用速度合成原

28、理求解. 取动坐标系固连在凸连在滑槽K上，动点A(也就是顶杆AB)相对定坐标系的运动是竖直的直线运动，动点A相对动坐标系的轨迹就是凸轮的轮廓线.因此，动点A对定坐标系的速度vA、动占对动坐标系的速度vr和动坐标系上与动点A重合点的速度ve三者，根据相对运动的速度关系应组成三角形，见图10，因此有 vA=vctan=rtan. 例6：如图11所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h.轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接.物体A在下面的轨道上以匀速率v运动.在轨道间的绳子与轨道成30角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离.设绳长B

29、O远大于滑轮直径.求： 图10 (1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向； (2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间. 解析：水滴P脱离绳子时的速度可以驼过水滴P在垂直绳上的分速度求解.这个分速度与物块B在垂直绳方向的图11 分速度有联系，因为这两个分速度都是绕滑轮O转动的线速度，它们有相同的角速度. (1)物体B在上轨道的运动可以看成是沿绳子的运动和垂直于绳子的运动(即绳子绕O点的转动)的合成. B沿绳子运动的分速度vB/=v，因而垂直于绳子的分速度vB=vtan(为BO与轨道夹角，这里=30)，如图12所示. 图12 绳子中点小水滴P的速度也可分解成沿着绳子的分速度和垂直绳子的分速度

30、，即 vp/v，vp=vtan. 小水滴P垂直绳子的分度可看做绳子绕O点转动，设该时刻绳子转动的角速度为，则有 =vp/(/2)=vB/. 从而有 vp=vB/2=(vtan)/2. 于是有 tan=(tan)/2=/6. 则 =arctan(/6). 角是vp与的夹角，vp与水平方向的夹角为30-. 水滴离开绳子的速度大小为 vp= = =v =v. (2)由30可知，水滴P做斜向下抛运动，P在竖直方向的分运动是初速度为vPyO、加速度为g的匀加速直线运动，则有 vPyO=vsin-vPcos=v(sin-tancos/2)=v/4. 因而 h=vt+gt2. 由此方程可解出t，取t为正值的

31、解，得 t=. 2 抛体运动 例1：从高H处的一点O先后平抛两个小球1和2，球1恰好直接过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2则与地面碰撞一次后也恰好越过竖直挡板，尔后也落B点.如图1所示.设球2与地面的碰撞类似光的反射，且反弹前后的速度大小相同.求竖直挡板的高度h.若球2与地碰n次后恰好越过档板也落于B点，则h的高度又如何？ 解析：这是一个典型的抛体问题.在抛体中恰当地运用对称性，可得巧解. 球1的落地时间t1=，而球2应为3t1，故球1的初速度应图1 为球2的3倍.若球1达C点的时间为t，则球2达C点的时间应为3t.当球1达C点时，球2达与C点等高的C1点，而C1点至A与A至C点 由对称性

32、可知应相等.设所需时间为t，则t+t+t=3t，得t=t.于是可以看出C1应为球1在第一次落地前的中点时刻，故竖直高度应被C1分成1：3两部分，所以挡板高 h=H. 图2 若球2与地碰n次后越过档板，落于B点，则球1落的地时间仍为t1，球2的落地时间应为(2n+1)t1.故若球1达C点的时间为t，则球2达C点的时间应为(2n+1)t.球1达C时，球2到达与之等高的C1点.设由C1至地的时间为t，则由对称性可画出图2. 2nt+(2n-1)t=(2n+1)tt=. 对球2在竖直方向的分运动列式，有 h=H. 例2：有5条边长为lm的正方形薄板做成一个小屋，如图3(a)所示.已知水滴沿屋顶从A点流

33、到B点所需的时间为从B点流到C点所需的时间的2倍.假定水滴从A点以初速为零开始流下，试求水滴从A点流到C点所需的时间. 解析：水滴从AB做匀加速直线运动，BC做斜下抛运动，竖直方向的分运动是竖直下抛运动. 由图3(b)中的阴影三角形BDE可得 x=BE=ED=l 图3 h=l-x= 设水滴从B到C的时间为t，水滴沿AB的加速度为a，则水滴经过AB距离的时间为2t=，a=， h=vt+gt2 上式v为B点末速度，v=cos45vB=. 经整理，可求得水滴经h所需时间 t= 加在一起，水滴经AC距离所需时间为3t. 例3：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为v0，求以何角度掷球

34、时，水平射程最远？最远射程为多少？ 解析：本题既可通过建立直角从标系，列出轨迹方程后求得极值，也可用位移矢量关系或速度矢量关系求，这里选择位移矢量图解法，其它方法同学可自行处理。 将铅球的运动分解为沿初速v0方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，其位移分gt2，由图4可得： 别为v0t和 x2=(v0t)2-(gt2-h)2 =-t4+(v+gh)t2-h2. 图4 当t2=-=时， x2有极值，即x有极值： xmax=(v0cosat)max=再将t的数值代入， 。 h=v0sinat-gt2， a=sin-1。 注：上式表示，最佳投掷角不仅与v0有关，还与h有关，且总是小于45，一般

35、a=3842。读者还可想一想，在什么条件下，当a=45时，斜上抛运动的水平射程最大。而若h=0时，则当a=45，物体的水平射程最大。 例4：一仓库高20m、宽40m，在仓库前某处A点抛一石块过屋顶，试问A距仓库前多远时，所需初速度v0最小？为多少？(g=10m/s2) 解析：此题是初速与射程问题，但要求过一平顶障碍物，如图.5所示建立坐标系.要使v0最小，则要求石块擦B，C两点而过；而过BC段，可用通常的有关射程问题的方法解决. 如图，以BC两点之间作射程，有sBC=。 所以 v= 图5 可见当a=45时，vB有最小值，为 vB=vBmin=20(m/s) 设此斜下抛的时间为t，由位移公式h=

36、vByt+gt2/2有20=10t+10t2，整理得 t2+2t-4=0 求得有效根为 t=(-)s 由此得到l值为 l=vBxt=10(-)=14.6(m) 再求v0： v0x=vBx=10m/s，v0y=vBy+gt=10(m/s) v0=28.2m/s tan=，=60，即v0与水平线夹角. 例5：一个喷水池的喷头以相同的速率喷出大量水射流，这些水射流以与地面成090的所有角喷出，如图6所示.竖直射流可高达2.0m，取g=10ms-2，计算射流在水池中落点所覆盖的圆的半径. 解析：题中所求实际上是水射流在090范围内喷出中，以多大角度喷出的水射流的射程最远. 先求射流的出口速率u.考虑竖

37、直射流，它在加速度为 -g的情况下升高2.0m.则 图6 u2=v2+2gs=2gs. 若一射流的初速度为(ux，uy)，则所经过的竖直位移的大小为 0=uyt-gt2/2. 射流飞行时间为 t=2uy/g. 飞行的水平距离为 r=uxt=2uxuy/g=2u2sincos/g. 上式可知，与45角对应的射流落地处，喷流最远，其最大半径为 r=2u2(1/)(1/)/g=u2/g=4.0m. 即射流落点所覆盖的圆的半径是4.0m. 例6：在仰角=/6的雪坡上举行跳台滑雪比赛(如图7).运动员从坡上方A点开始下滑.到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成角的方向起跳，最后落在坡上

38、B点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录.已知A点高于O点h=50m.忽略各种阻力和摩擦，求最远可跳多少米？此时起跳角为多少？ 解析：运动员起跳后落到坡上前做抛体运动，据此找到坡上OB两点虎离L与起跳角的函数关系，进而求出其极值来. 建立坐标系如图8.运动员在t=0时，从O点以速度v起跳，v的大小可由机械能守恒定律求得 mv2=mgh. 起跳后做斜返回运动，设t时刻落到坡面B处，则此时坐标为 x=vtcos y=vtsin-gt2. 它们须满足坡面方程 y=-tanx. 由以上三方程解得 gtt-2v(t ancos+sin)/g/2=0. t=0不合题意故知落地时刻为 t=2v(tancos

39、+sin)/g=2vsin(+)/(gcos). 而着地点B的x坐标为 x=2v2cossin(+)/(gcos). 坡面OB距离与起跳角的关系为 L()=x/cos=2v2cossin(+)/(gcos2) 图7 图8 =v2sin(2+)+sin/(gcos2). 由上可知，当2+=/2，即=(-)/2=x/6时， L有最大值，Lmax=v2(1+sin)/(gcos2)=2h(1+sin)/cos2 =250(1+)/(3/4)=200(m). 即最佳起跳角为=/6，最高记录可达200m. 3牛顿运动定律 题型讲解： 例1：光滑水平桌面上静置三只小球，m1=1kg、m2=2kg、m3=3

40、kg，两球间有不可伸长的轻绳相连，且组成直角三角形，=37.若在m1上突然施加一垂直于m2、m3连线的力F=10N，求此瞬时m1受到的合力，如图1所示. 解析：要求m1在此瞬时受到的合力，应算出m1在此瞬时的加速度a.由图1 于在F作用的瞬时，m2、m3间的绳将松驰，于是可将F沿m1、m2及m1、m3两绳的方向进行分解，然后列式即可求解. 由于m2、m3间的绳将松驰，可将F沿两绳方向分解，有F1=Fcos，F2=Fsin.于是 所以a=2.33m/s2.由此可得m1在此瞬时受到的合力 F=m1a=2.33N. 点评：本题的关键是判定m2、m3间绳的张力为零，并将F沿另外两强的方向分解. 例2：

41、如图2所示，质量为m的物体C用两根绳子系住，两绳分别跨过同一高度的滑轮O1和O2后与滑块A、B相连.滑块A的质量为m，滑块B的质量为2m，分别放在倾角为60和30的固定光滑斜面上.当系统平衡时，在物体C上无初速地放上另一质量也为m的物体D，并且C、D立刻粘在一起.试求刚放上D的瞬时物体A和B的加速度. 解析：先由力的平衡条件求出平衡时C的位置，然后分析失去平衡瞬时的情况.由于各力的方向显而易见，但物体C的加速度方向不清，所幸的是A、B、C三者的初速度均为零，故C、A、B三者沿向不清，所幸的是A、B、C三者的初速度均为零，故C、A、B三者沿绳方向的加速度分量相等，于是可由牛顿第二定律解之. 图2 图3 先求初始平衡态的情况. 而Tc=mg，故三者互成120角. 放上D的瞬时，各绳的张力必发生变化.对C的加速度进行分解，如图3所示.由于该瞬时A、B、C的速度均为零，故三者沿绳方向的加速度分量相等，有 由牛顿第二定律对A、B、C分别列式，得 对A有：FAmAg sin60=mAaA，且mA=m. 对B有：FB=mBg sin30=mBaB，mB=2m.