《特征方程法求数列的通项公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特征方程法求数列的通项公式.docx（7页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、特征方程法求数列的通项公式特征方程法求数列的通项公式 九江市教研室 林健航 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径. 1.已知数列an满足an+1=定义1:方程x=aan+b. 其中c0,adbc,nN*. can+dax+b为的特征方程,该方程的根称为数列an的特征根,记为a,b. cx+d定理1:若a,ba1且ab,则证明: x=an+1-aa-caan-a. =an+1-ba-cban-bax+ba-dbcx2+(d-a)x-b=0a+b=,ab=- cx+dcc(a d=a-+b)c,b=a-b caan+a-aca+=n n+1an+1
2、-baan+can+ =b-ad(ana+)b-a(c+)d(-aa)cn+a(-ab)dna= b(aa+b)-b(ca+)d(a-bc)a+(-bbd)nnn-bd(a-ca)an+-abc-a(-ca-cba)a-(caan-)a-c(aa) =(a-cb)an+-abc-a(-ca-cbb)a-(cban-)a-c(bb) =a-caan-a 证毕 a-cban-b12c1. =+an+1-aa+dan-a定理2: 若a=ba1且a+d0,则证明: Qd=a-2ac,b=-ac 2can+dcan+d11= aa+ban+1-an-a(aan+b)-a(can+d)(a-ac)an+b
3、-adcan+d =can+a-2accan+a-2accan+a-2ac =22a+d(a-ac)an-(ac+aa-2ac)(a-ac)(an-a)(an-a)2=2can+2a-4ac2can+(a-2ac)+d2c(an-a)+(a+d)= (a+d)(an-a)(a+d)(an-a)(a+d)(an-a)=2c1 证毕 +a+dan-a例1: 各项均为正数的数列an,a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正数m,n,p,q都有ap+aqam+an. =(1+am)(1+an)(1+ap)(1+aq)(1)当a=14,b=时,求通项an;(2)略. 25ap+aqa1+ana2+
4、an-1am+an解:由得 =(1+am)(1+an)(1+ap)(1+aq)(1+a1)(1+an)(1+a2)(1+an-1)将a=142a+1,b=代入上式化简得an=n-1 25an-1+2考虑特征方程x=2x+1得特征根x=1 x+22an-1+1-1a-1an-1+21a-1=n-1所以n an+12an-1+1+13an-1+1an-1+2所以数列an-11a1-11是以为首项,公比为的等比数列 =-a+13a1+13nan-13n-111n-11n故 =-=- 即an=n3+1an+1333例2:已知数列an满足a1=2,an=2-解: 考虑特征方程x=2-1,nN*,求通项a
5、n. an-11得特征根x=1 xa1111=n-1=1+ 11an-1(2-an-1-1an-1-1)-11-an-1an-111所以数列=1为首项,公差为1的等差数列 是以a-1a-1n1故n+11=n 即an= nan-12.已知数列an满足an+2=c1a+c2an+1n. 其中c1,c2为常数,且c20,nN*. 定义2:方程x2=c1x+c2为的特征方程,该方程的根称为数列an的特征根,记为l1,l2. a1=b1l1+b2l2定理3:若l1l2,则an=bl+b2l2,其中b1,b2常数,且满足22. a=bl+bl21122n11n定理4: 若l1=l2=l,则an=(b1+b
6、2n)ln,其中b1,b2常数,且满足a1=(b1+b2)l2. a=(b+2b)l212例3:已知数列an满足a1=1,a2=2cosj,an+2=2cosjan+1-an,求通项an. 解: 考虑特征方程x=2cosjx-1得特征根l1=cosj+isinj,l2=cosj-isinj 则an=b1(cosj+isinj)n+b2(cosj-isinj)n=(b1+b2)cosnj+i(b1-b2)sinnj 2b1+b2=01=(b+b)cosj+i(b-b)sinjsinnj1212 其中 1an=i(b-b)=2cosj=(b+b)cos2j+i(b-b)sin2jsinj121212sinj例4:已知数列an满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-4an,求通项an. 2解: 考虑特征方程x=4x-4得特征根l=2 则an=(b1+b2n)2n 其中 2(b1+b2)=2b=01an=n2n 4(b1+2b2)=8b2=1
