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1、状态空间方程状态空间方程 以传递函数为基础的经典控制理论的数学模型适应当时手工计算的局限，着眼于系统的外部联系，重点为单输入-单输出的线性定常系统。伴随计算机的发展，以状态空间理论为基础的现代控制理论的数学模型采用状态空间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状态及其内部联系，研究的机电控制系统扩展为多输入-多输出的时变系统。 所谓状态方程是由系统状态变量构成的一阶微分方程组;状态变量是足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。状态变量相互独立但不唯一。 状态空间方程可表示成 &=Ax+Bu x y=Cx+Du (2.64) 式中， x=x1x2Lxnt n维状态矢量； a11a A=21Ma
2、n1a12a22Man2La2n nn维系统状态系数矩阵； MMLannLa1nt u=u1u2Lur r维控制矢量； b11b B=21Mbn1b12b22Mbn2Lb2r nr维系统控制系数矩阵； MMLbnrLb1rt y=y1y2Lym m维输出矢量； c11c C=21Mcm1d11d D=21Mdm1c12c22Mcm2d12d22Lc2n mn维输出状态系数矩阵； MMLcmnLc1nMdm2Ld2r mr维输出控制系数矩阵； MMLdmrLd1r系统信号传递方块图如图2-46所示。 D + u B + + A & xx C + y 图2-46 系统信号传递方块图 例 如图2-4
3、7所示系统,ui(t)和uo(t)分别为输入和输出电压。 u(t) iR L uo(t) uc(t) iL(t) C 图2-47 电路网络 该系统可表示为如下微分方程组 u(t)=Ri(t)+LdiL(t)+u(t)iLcdtdu(t) iL(t)=Ccdtuo(t)=uc(t) 即 diL(t)=-Ri(t)-1u(t)+1u(t)dtLLLcLiduc(t)1=iL(t)Cdtuo(t)=uc(t)也可表示为 R-iL&=&uc1Cuo=01-1iLLu+Luic00 1iLuc例：如图2-48所示系统，fi(t)为输入力，xo(t)为输出位移。 D x0(t) fi(t) m k 图2-
4、48质量-弹簧-阻尼系统 该系统可表示为如下微分方程组 dx(t)vo(t)=odtf(t)-Dv(t)-kx(t)=mdvo(t)ooidtdxo(t)=vo(t)dt即dv(t)kDo=-xo(t)-vo(t)+dtmm1mfi(t) 也可表示为0&o(t)x=k-&vo(t)mxo(t)=1x(t)0Do+1fi(t)-v(t)ommx(t)0ovo(t)1例 如图2-49所示系统，fi(t)为输入外力，xo(t)为输出位移，m为质量， m1, m2为粘性阻尼系数，K1、K2、K3为弹性刚度，a、b、c为长度。 k1am1x0(t)k21bm2fi(t)ck32 图2-49 质量-弹簧-
5、阻尼系统 &1, k3和m2之间的位移为x3, 则 设 x1=xo, x2=xa+b&3=k3m2xx1-x3aa+ba+ba+b&2+m1x2+k1x1)a+m2&2+k2fi(a+b+c)=(m1xxx1+k3x1-x3(a+b)aaa整理,得 x&1=x22a2k1+(a+b)(k2+k3)a(a+b)k3a2m1&x=-x-x+x3122222222am1+(a+b)m2am1+(a+b)m2am1+(a+b)m2a(a+b+c)+2fi2am1+(a+b)m2ka+bkx&3=3x1-3x3m2am2x0=x1 即 01&12x2a2m1ak+(a+b)(k2+k3)x&2=-1-2222()()am+a+bmam+a+bm2121&3xk3(a+b)0ma20a(a+b+c)fi +2am1+(a+b)2m20x1xo=100x2x30x1a(a+b)k3x2a2m1+(a+b)2m2xk33-m2
