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1、现代控制理论知识点复习第一章 控制系统的状态空间表达式 n阶 状态空间表达式 &=Ax+Buxy=Cx+Duu:r1 y:m1 A:nn B:nr C:mnD:mr A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系； 为输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况； C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系， D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 状态空间描述的特点 考虑了“输入状态输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 状态方程和输出方程都是运动方程。 状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。 状态变量的选
2、择不唯一。 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 建立状态空间描述的步骤： a选择状态变量； b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组； c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 模拟结构图 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 状态空间表达式的建立 由系统框图建立状态空间表达式： a将各个环节变成相应的模
3、拟结构图；b每个积 &i；c由模拟图写出状态方程和输出方程。 分器的输出选作xi，输入则为x 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL和KCL列微分方程，整理。 由描述系统的输入输出动态方程式或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。 注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。 c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5状态矢量的线性变换。也说明
4、了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量pi的求解：也就是求(liI-A)x=0的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，l1l2，l3为单根，对特征矢量p1，p3求法与前面相同， p2称作l1的广义特征矢量，应满足(l1I-A)p2=-p1。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。 6由状态空间表达式求传递函数阵W(s) W(s)=C(sI-A)-1+B+D mr的矩阵函数WijWij表示第j个输入对第i个输出的传
5、递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W(s)是不变的。 子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W(s)。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。 第二章 控制系统状态空间表达式的解 &=Ax）的解：x(t)=eAtx0 一线性定常系统齐次状态方程的解：x(t)=f(t)x(0)+三线性定常系统非齐次方程。求解步骤：先求f(t)=eAt，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。 第三章 线性控制系统的能控性和能观性 一能控性及能观性定义 二线性定常系统的能控性判别 -1-1&=Ax+Bu z&=TATz+TBu 判别方法：通过线性变换 x1若
6、A的特征值互异，线性变换为对角线标准型，L=T-1AT，能控性充要条件：T-1B没有全为0的行。 变换矩阵T的求法。 2若A的特征值有相同的，线性变换为约当标准型，J=T-1AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的T-1B中最后一行元素没有全为0的。 T-1B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。 这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、T-1、T-1B。 判别方法：直接从，判别 &=Ax+Bux 能控的充要条件是 能控性判别矩阵M=(B,AB,A2B,LAn-1B)的秩为n。 在单输入系统中，M是一个nn的方阵； 而多
7、输入系统，M是一个nnr的矩阵，可通过rankM=rank(MMT) 三线性定常系统的能观性判别 判别方法：通过线性变换 &=Axxy=Cx &=Tz-1ATzy=TCz若A的特征值互异，线性变换为对角线标准型，L=T-1AT，能观性充要条件：TC中没有全为0的列。 变换矩阵T的求法。 若A的特征值有相同的，线性变换为约当标准型，J=T-1AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为的。 对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为的。变换矩阵T的求法。 这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T、T-1、TC。 判别方法：
8、直接从，C判别 CCA能观性的充要条件是 能观性判别矩阵N=的秩为n。 MCAn-1在单输入系统中，N是一个nn的方阵； 而多输入系统，N是一个nmn的矩阵，可通过rankM=rank(MMT) 六能控性与能观性的对偶原理 若A2=A1T，B2=C1T，C2=B1T，则S1(A1,B1,C1)与S2(A2,B2,C2)对偶。 对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。 S1与S2对偶，则S1能控性等价于S2能观性，S1能观性等价于S2能控性。 七能控标准型和能观标准型 对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。 能控标准型 判别系
9、统的能控性。计算特征多项式|lI-A|=ln+an-1ln-1+La1l+a0，即可写出A。求变换p10p1A0-1-1n-1-1，p=0,0,L,1b,Ab,LAB。，c=cT，也=b=Tb=T求，计算c11c1c1MMn-1p1A1矩阵Tc1可以验证是否有A=Tc1-1ATc1。 能观标准型 判别系统的能观性。计算特征多项式|lI-A|=ln+an-1ln-1+La1l+a0，即可写出A。求变换ccAn-1=T1,AT1,L,AT1，T1=Mn-1cA-1矩阵To200M1。求T02，计算b=T02b，c=cT02=00L1，-1也可以验证是否有A=To2ATo2。 W(s)=-1如果已知
10、传递函数阵，可直接写出能控标准型和能观标准型的状态空间表达。 bn-1ssn-1n-1+bn-2sn-1n-2+L+b1s+b0n-2+an-1s+an-2s+L+a1s+a0000能控标准型：A=M0-a001能观标准型：A=0M0001M010M0-a1LLLML000L101L0-a2LLLL000M b=M c=b010-an-11b1Lbn-1 -a0b0-a1b1-a2 b=M c=0Mbn-2b-an-1n-10L1 八线性系统的结构分解 完成。 1按能控性分解，通过非奇异变换x=RcxRc=(R1R2LRn1LRn)，前n1个列矢量是M中n1个线性无关的列，其他列矢量保证Rc非
11、奇异的条件下是任意的。 完成。 2按能观性分解，通过非奇异变换x=RoxRo-1R1R2M=，前n1个行矢量是NRn1MRn中n1个线性无关的行，其他行矢量保证Ro非奇异的条件下是任-1意的。 3按能控性和能观性分解，采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。 步骤：首先按能控性分解。对不能控子系统按能观性分解。将能控子系统按能观性分解。综合各步变换结果，写出最后的表达式。 另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。 九传递函数阵的实现问题 1实现的定义：由W(s)写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。 条件：传递函数阵中每个元的分子分
12、母多项式都是实常数；元是s的真有理分式。 注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵D=2能控标准型和能观标准型实现 单入单出系统，W(s)是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。 3最小实现 &=Ax+Buxy=CxlimW(s)。 s为W(s)最小实现的充要条件是S(A,B,C)是完全能控能观的。 步骤：对给定的W(s)，初选一种实现，假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。 注意：传递函数阵W(s)的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。 十传递函数W(s)中零极点对
13、消与能控性和能观性之间的关系 对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的。 对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观。 第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 一 稳定性的定义 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。 1平衡状态 &=f(x,t)为齐次状态方程。满足对所有t，都有f(xe,t)0成立的状态矢量xe称为系统的平衡状态。 x稳定性问题都是相对于
14、某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。 2稳定性的几个定义 李雅普诺夫意义下稳定；渐近稳定；大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；不稳定。 二 李雅普诺夫第一法 1线性定常系统的稳定判据 状态稳定性：平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部。 输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s的左半平面。 2非线性系统的稳定性 &=ADx；A=线性化处理。Dxfxx=xe，若A的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态xe渐近稳定。若A的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态xe不稳定。若若A的所有特征值至少有实
15、部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。 三李雅普诺夫第二法 借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。 1预备知识 V(x)是由n维矢量x定义的标量函数，且在x=0处，恒有V(x)=0，对任何非零矢量x，如果V(x)0，则称之为正定； 如果V(x)0或V(x)0，则P正定；若i=偶数的Di0，i=奇数的Di0，且满足V&(x)0，且满足V&(x)0，但除x0外，即x0，V&(x)不恒等于，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当x时，V(x)，则系统是大范围渐近稳定的。 &=f(x)，设x平衡状态为xe=0，如果存在标量函数V(x)是正定的，即x=0时，有V(x)=0，x0时，
16、有V(x)0，且满足V&(x)0，但任意的x0，V&(x)恒等于，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 设x平衡状态为xe=0，如果存在标量函数V(x)是正定的，即x=0时，有V(x)=0，x0&=f(x)，时，有V(x)0，且满足V&(x)0，则称原点平衡状态是不稳定的。 需要注意：这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。如果V(x)是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。V(x)最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。构造V(x)需要较多技巧。 四李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性定常连续
17、系统渐近稳定判据 &=Ax，若A是非奇异的，原点xe=0是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件定理：x是对任意对称实正定矩阵Q，李雅普诺夫方程ATP+PA=-Q，存在唯一的对称正定解P。 该定理等价于的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。 步骤：选定正定矩阵Q，通常为Q=I，代入李雅普诺夫方程，确定出P，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。 五非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析雅可比矩阵法 &=f(x)，写出f(x)，计算雅可比矩阵J(x)=步骤：xQ(x)=-J(x)P+PJ(x)为正定的。并且V(x)=fTTfx，对给定正定矩阵P，为系统的一个李雅普诺夫函数。 (x)Pf
18、(x)第五章 线性定常系统的综合 一线性反馈控制系统的基本结构及其特性 1状态反馈 将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K称为状态反馈增益阵，rn。 设原受控系统0=(A,B,C)，=0。 状态反馈闭环系统的状态空间表达式 &=(A+BK)x+Bvxy=Cx 简称K=(A+BK,B,C) 与原受控系统0=(A,B,C)比较，状态反馈增益阵的引入，并不增加系统的维数，但可以通过的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。 2输出反馈 由输出端y引入输出反馈增益阵H，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状态空
19、间表达式为 H=(A+BHC,B,C) &=(A+BHC)x+Bvxy=Cx 简称 通过的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比小。 &的反馈 从输出y引入反馈增益阵G到状态变量的导从输出到状态变量导数x&，所得状态空间表达式为 数x&=(A+GC)x+Buxy=Cx 简称H=(A+GC,B,C) 通过的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。 以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。 闭环系统的能控性与能观性 a 状态反馈不改变受控系统0=(A,B,C)的能控性，但不保证系统的能观性不变
20、。 b 输出反馈不改变受控系统0=(A,B,C)的能观性，但不保证系统的能控性不变。 二极点配置问题 就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。 只讨论单输入单输出系统 采用状态反馈 对系统0=(A,b,c)任意配置极点的充要条件是0完全能控。 给定0=(A,b,c)，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法： 能控规范型法，适合于n3。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。通过线性变换x=Tc1x化为能控标准型，得到S=(A,b,c)。加入状态反馈增益矩阵K=k0,k1,L,kn-1,得到闭环系统SK=(A+bK,b,c)状态空间表
21、达式，求出对应的闭环特征多项式由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f(l)=(l-li)。f(l)=|lI-(A+bK)|。将f(l)与f*(l)比较，即可得到K=k0,k1,L,kn-1。把对应与S的K，通过K=KTc1 =k0,k1,L,kn-1。进一步画出模拟结构图。 n3，当阶次较低时，可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反馈增益矩阵K=k0,k1,L,kn-1，-1*不通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。加入状态反馈增益矩阵K=k0,k1,L,kn-1,得到闭环系统SK=(A+bK,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f(l
22、)=|lI-(A+bK)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式将f(l)与f*(l)比较，即可得到K=k0,k1,L,kn-1。进一步画出模拟结构f(l)=(l-li)。图。 注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做其他工作。 2采用输出反馈 不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。 &的反馈 对系统0=(A,b,c)任意配置极点的充要条件是0完全能观。 采用从输出到x&的反馈阵的问题就是其对偶系统0设计状态反馈阵的问题。 设计0从输出到x*方法：能观标准型法，适合于n3。首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈。通过线性变换x=To2x化
23、为能观标准型，得到S=(A,b,c)。加入输出反馈增益矩阵G=g0,g1,L,gn-1T,得到闭环系统SG=(A+Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f(l)=|lI-(A+Gc)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*(l)=(l-li*)。将f(l)与f*(l)比较，即可得到G=g0,g1,L,gn-1T。把对应与S的G，通过G=TO2G 进一步画出模拟结构图。 =g0,g1,L,gn-1。当阶次较低时，n3，可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态反馈增益矩阵首先判断是否完全能观，是，则存G=g0,g1,L,gn-1，不通过非奇异变换，使设计工作简单。&的反馈增
24、益矩阵G=g0,g1,L,gn-1,得到闭环系统在输出反馈。加入从输出到x由给定的SG=(A+Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f(l)=|lI-(A+Gc)|。期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*(l)=(l-li)。将f(l)与f*(l)比较，即可得到G=g0,g1,L,gn-1。进一步画出模拟结构图。 *三系统镇定问题 所谓系统镇定，是对受控系统0=(A,B,C)通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定。 镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面的左侧，而并不要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。 状态反馈能镇定的充要条件是其不能
25、控子系统为渐近稳定。 输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近稳定的。 &的反馈实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。 输出到x五状态观测器 作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。 以的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量x逼近于x，即定义：动态系统0|=0，则称lim|x-xt为0的一个状态观测器。构造原则：0必须是完全能观或不能观子系统是的输出x
26、在结构上尽可能简单，以便于物理实现。 等价性指标 动态系统&=Ax+Buxy=cx原系统0 &=Ax+Buxy=cx&-x=A(x-x) x=eAt(x0-x0) 得到x-x与x是稳态等价的。 只要系统是稳定的，即的特征值具有负实部，就可做到x重构状态方程 逼近于x；原因：系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有x不一定能保证的的特征值均具有负实部。 克服这个困难，用对输出量的差值y-y的测量代替对状态误差x-x|=lim|cx-cx|=lim|c(x-x)|=0。 同时，引入反馈阵，|=0，有lim|y-y测量，当lim|x-xtttt使系统的特征值具有负实部。 状态重构方框图为p21
27、3 5.16(a) 要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。 状态观测器方程为&=Ax+Bu+G(y-y)=(A-GC)x+Gy+Bux=Cxy=(A-GC,B,G) 记为这里的G称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果A-GC的特征值具有负实部，那么状态误将逐渐衰减到，即估计状态x逼近于实际的状态x。逼近的速度取决于G的选择，即差x-xA-GC的特征值的配置。 观测器的存在性 对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。 观测器存在的充要条件是0不能观子系统是渐近稳定的。 观测器的极点配置 =(A-GC,B,G)可以任意配置极点，定理：线性定常系统0=(A,B,C)，其观测器即具有任意
28、逼近速度的充要条件是0=(A,B,C)完全能观测。 极点配置方法：能观标准型法，适合于n3。首先判断是否完全能观，是，存在观测器可以任意极点配置。通过线性变换x=Tx化为能观标准型，得到S=(A,b,c)。加入输出误差&=(A-Gc)x+Bu+Gy)，求出对应的反馈阵G=g0,g1,L,gn-1T,得到闭环系统状态空间表达式x闭环特征多项式f(l)=|lI-(A-Gc)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式将f(l)与f*(l)比较，即可得到G=g0,g1,L,gn-1。把对应与S的G，f(l)=(l-li)。通过G=TG*T=g0,g1,L,gn-1。得观测器方程，&=(A-Gc)x
29、+Bu+Gy或x=Ax+Bu+G 1系统的结构与状态空间表达 结构框图要非常熟悉 前提：受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以任意极点配置。 受控系统0=(A,B,C) &=Ax+Buxy=cx 式 状态观测器SG=(A-GC,B,G) &=Ax+Bu+G(y-y)=(A-GC)x+Gy+Bux=Cxy 式 式 反馈控制率u=v+Kx&=Ax+BKx+Bvx&=GCx+(A-GC)x+Gy+Bv 也可写成矩阵形式 整理得整个闭环系统的状态空间表达式xy=Cx显然，这是一个2n维的闭环控制系统。 2闭环系统的基本性质 分离性 复合系统其特征多项式等于矩阵A+BK和A-GC特征多项式
30、的乘积。即闭环系统的极点等于直接状态反馈的极点和状态观测器的极点总和，且相互独立。所以输出误差反馈阵G和状态反馈阵K可以分别进行设计。 传递函数矩阵的不变性 可以推出复合系统的传递函数为W(s)=CsI-(A+BK)-1B，等于直接状态反馈闭环系统的传递函数。或者说它与采用观测器反馈无关。 观测器反馈与直接状态反馈的等效性 稳态时，两者等价。 选择，可以改变闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。 衰减到。一般取观测器的极点比闭选择，可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差x-x环系统的期望极点的极点）略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。 设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤)： 判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵和观测器输出误差反馈阵存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。设计状态反馈阵：求A+BK的特征多项式设计观测器输fK(l)，由期望的闭环极点得期望的特征多项式fK(l)，比较系数，从而得到。出误差反馈阵：求A-GC的特征多项式fG(l)，由观测器期望的配置极点得期望的特征多项式给出观测器方程即式。结合1式和3式，画出相应fG(l)，比较系数，从而得到。的模拟结构图。 *
