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1、最短路径问题,Mathematica Modeling,主要内容,Floyd算法,Dijkstra算法,两个例子的求解,引例2：最廉价航费表的制定,引例1：最短运输路线问题,最短路径问题的0-1规划模型,3,如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？,引例1：最短运输路线问题,4,某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（表示无直达航班
2、），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。,引例2：最廉价航费表的制定,5,最短路径问题,定义：设P(u,v)是加权图G中从u到v的路径,则该路径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P).从u到v的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径.,最短路径算法,Dijkstra算法使用范围:寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径;有向图、无向图和混合图;权非负.算法思路：采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号,从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.,Dijkstra算法算法步骤,S:具有永久标号的顶点集;l(v):v的标记;f(v
3、):v的父顶点,用以确定最短路径;输入加权图的带权邻接矩阵w=w(vi,vj)nxm.初始化 令l(v0)=0,S=;vv0,l(v)=;更新l(v),f(v)寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v),即 l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u;重复步骤2),直到所有顶点都在S中为止.,MATLAB程序（Dijkstra算法）,function min,path=dijkstra(w,start,terminal)n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=st
4、art;for i=1:n if i=start label(i)=inf;end,ends(1)=start;u=start;while length(s)(label(u)+w(u,v)label(v)=(label(u)+w(u,v);f(v)=u;end,end,end,v1=0;k=inf;for i=1:n ins=0;for j=1:length(s)if i=s(j)ins=1;end,end if ins=0 v=i;if klabel(v)k=label(v);v1=v;end,end,end s(length(s)+1)=v1;u=v1;end,min=label(ter
5、minal);path(1)=terminal;i=1;while path(i)=start path(i+1)=f(path(i);i=i+1;end path(i)=start;L=length(path);path=path(L:-1:1);,9,最短路径算法,Dijkstra算法程序的使用说明：调用格式为 min,path=dijkstra(w,start,terminal),其中输入变量w为所求图的带权邻接矩阵，start,terminal分别为路径的起点和终点的号码。返回start到terminal的最短路径path及其长度min.注意：顶点的编号从1开始连续编号。,最短路径算法
6、,Floyd算法使用范围:求每对顶点的最短路径;有向图、无向图和混合图;算法思想:直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次递推地构造出n个矩阵D(1),D(2),D(n),D(n)是图的距离矩阵,同时引入一个后继点矩阵记录两点间的最短路径.,Floyd算法算法步骤,d(i,j):i到j的距离;path(i,j):i到j的路径上i的后继点;输入带权邻接矩阵a(i,j).1）赋初值 对所有i,j,d(i,j)a(i,j),path(i,j)j,k=l.2）更新d(i,j),path(i,j)对所有i,j,若d(i,k)+d(k,j)d(i,j),则 d(i,j)d(i,k)+d(k,j),pa
7、th(i,j)path(i,k),k k+13）重复2)直到k=n+1,MATLAB程序（Floyd算法）,function D,path,min1,path1=floyd(a,start,terminal)D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n if D(i,j)=inf path(i,j)=j;end,end,endfor k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);end,end,end,en
8、d,if nargin=3 min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1=;while path(m(i),terminal)=terminal k=i+1;m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;end m(i+1)=terminal;path1=m;end,13,最短路径算法,Floyd算法程序的使用说明：1.D,path=floyd(a),返回矩阵D,path。其中a是所求图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示i到j的最短距离;path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点.2.D,path,min1,path1=f
9、loyd(a,i,j)返回矩阵D,path;并返回i与j之间的最短距离min1和最短路径path1.,14,edge=2,3,1,3,3,5,4,4,1,7,6,6,5,5,11,1,8,6,9,10,8,9,9,10;.3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11,5,8,1,9,5,11,9,8,10,9;.3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7,2,9,9,2,2;n=11;weight=inf*ones(n,n);for i=1:n weight(i,i)=0;endfor i=1:size(edge,2)weight(edge(
10、1,i),edge(2,i)=edge(3,i);enddis,path=dijkstra(weight,1,11),引例1的Matlab求解,15,运行上页程序输出：dis=21path=1 8 9 10 11 因此顶点1到顶点11的最短路径为18 9 10 11,其长度为21。,引例1的求解,16,建立脚本m文件如下：a=0,50,inf,40,25,10;50,0,15,20,inf,25;inf,15,0,10,20,inf;40,20,10,0,10,25;25,inf,20,10,0,55;10,25,inf,25,55,0;D,path=floyd(a)运行便可输出结果。,引例2
11、的Matlab求解,运行输出结果：D=0 35 45 35 25 10 35 0 15 20 30 25 45 15 0 10 20 35 35 20 10 0 10 25 25 30 20 10 0 35 10 25 35 25 35 0path=1 6 5 5 5 6 6 2 3 4 4 6 5 2 3 4 5 4 5 2 3 4 5 6 1 4 3 4 5 1 1 2 4 4 1 6,D便是最廉价的航费表，要求飞行路线，由path矩阵可以得到，比如2到5的路线：path(2,5)=4,path(4,5)=5,因此，应为24 5,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
