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1、球的体积和表面积公式具体推导过程1.3.2球的体积和表面积 设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i层“小圆片”的下底面半径： Rn，底面Rri=R2-(i-1)2n， 第i层“小圆片”的体积为： R2VrinpR3i-11-nn2 ，半球的体积：V半径V1V2Vn pR31211n2 611(1-)(2-)pR1(n-1)n(2n-1)(n-1)(2n-
2、1)33nn n2pR(1-）pR1-2n66n6n3 当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，式越来越接近于半球的 体积，如果n无限变大，就能由式推出半径的体积。 事实上，n增大，V半径11就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时，有 nn2343pR，所以，半径为R的球的体积为： VpR 331.3.2球的体积和表面积 球的表面积推导方法 分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2， Sn，那么球的表面积为：SS1S2Sn 把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球
3、面片”顶点相连后 就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。 求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，Vn 那么球的体积为：VV1V2Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为Si，于是，它的体积为： 1hi Si， 31这样就有：Vihi Si， 31V 3Vi 转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi 就趋向于R，Si就趋向于 Si，于是，由可得：V1RS 3 S4R2 又V4341pR，所以，有pR3RS 即： 333
