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1、理发师悖论理发师悖论 “理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。说的是在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。这就引出一个问题: 他该不该给自理发? 或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。要是他不给自己理发 , 他也违反了自 己的规定 ; 因为按规定 , 他一定得给自己不理发的人理发, 所以他也得给自己理发。理发师发难了: 他不论怎么做“都自己打自己的耳光” 。 3 . 1 “理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是 : “ 一切不包含自身的集合所组成的集合” 是否包含自身的
2、问题。如果说它不包 含自身, 那么他就应当是这个集合的元素, 即包含自身 ; 如果说它包含自身, 即属于这个集合那么它又不应包含自身。用符号表示就是 :R R R R即命题 R R 等价于它的否命题 R R 。 3 . 2 “ 罗素悖论” 的辨析及历史意义 “ 罗素悖论” 产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式特性或者形而上学思维方法的矛盾。 集合既是一种完成了的对象 , 又具有无限扩张的可能性, 它是完成与过程的统一。而人们在认识集合这种辩证性时, 由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法往往是片面强调矛盾的一方, 且把它推向极端, 然后又把对立的双方机械的重新联结起来, 这样出现矛盾就
3、不可避免了, 在“罗素悖论”的形成中,它一方面肯定的是集合本身无限扩张的可能性 , 即强调集合的过程性。另一方面,又对不能再予以扩张的集合即全集的绝对肯定,即又强调了集合的完成性。这样一来, 把绝对化了的双方又机械的联系起来,就必然构成了悖论。 “罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的内部, 推理简单明了, 毫不含糊, 一针见血地指出了当时集合论中存在的矛盾。大家知道,数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一个宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论” 的提出, 使人们如闻霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机,但正 是这一 次数学危机, 促进了公理化集合论的诞生。
