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1、理解矩阵的概念掌握一些特殊矩阵及其性质 19 第二章 要求： 矩阵 1） 理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等； 2） 掌握矩阵的基本运算及其运算规则，如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等； 3） 理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵概念； 4） 掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆 矩阵的方法。 5）掌握矩阵的分块运算。 2.1 矩阵 知识点：矩阵的定义，一些特殊矩阵 定义1 由 mn个实数aij排成的一个 m行n列的矩形数表 a11a12a21a22LLam1am
2、2称之为 mn 矩阵，位置。i,j）上的元素，一般用aij矩阵可简记为 Amn 或 A=aij 或 A=aijmn . 例1 含有n个未知数x1,x2,L,xn、m个方程的线性方程组 a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1ax+ax+L+ax=b2112222nn2 LLLam1x1+am2x2+L+amnxn=bma11a21把aij和bi按原顺序可以组成一个m(n+1)矩阵： Lam1a12a22LLa1nLa2nLLam2Lamnb1b2。 Lbm任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。 19 2-123如 已知某方程组对应于下列矩阵 12-
3、30。写出该方程组， 1311方矩阵 若 m=n，称A为n阶矩阵，也可记作 An. 对角线，） 而a11,a22,LL,ann 称之为对角元素；。 当 m=n=1 时，即 A=(a11)， 此时矩阵退化为一个数a11. 同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。 矩阵相等 若同型矩阵A=aijmn和B=bijmn在对应位置上的元素都相等，即 aij=bij,i=1,L,m;j=1,L,n, 零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O；或 Omn . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。 三角矩阵 设A=aij是 n 阶矩阵。 1）若A的元素满足 aij=0,2）若A的元素
4、满足 aij=0,ij，称A是上三角矩阵； ij，并 cii=aiibii。 1-2133120， B=0-20， 如 A=0003002矩阵的幂 设A是n阶矩阵，定义： A1=A,A2=AA,L,0Ak+1=A(Ak), 其中，k是正整数；特别规定 A=I . 由于乘法成立分配律结合律，有 Ak+l=AkAl ，(Ak)l=Akl， 但由于不成立交换律，故一般 (AB)AB。 kkk00例9 设矩阵 A=004100001000l10000l10 , ,B=00l1, 10000ln求 A和 B(n4)。 19 四、 转置运算 定义5 (转置矩阵) 设 a11a21 A=Lam1a12a22
5、Lam2La1na11La2na12T ， A=LLLaLamn1na21Lam1a22Lam2LLLa2nLamnT将A的行和列对应互换得到的nm矩阵，定义为A的转置矩阵，记作A，。 由定义可知，(AT)ij=(A)ji，即A在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的元素。 T例10 设矩阵 4-121A=02,B=34 , -32求 (AB)T ， BTAT 和 ATBT。 上述例子成立 (AB)T=BTAT，而并不成立(AB)T=ATBT。 这是转置运算的性质。 矩阵的转置满足下列运算法则： (A)=A； (A+B)=A+B； (lA)=l(A), (AB)=BA. TTTTT
6、TTTTTl 是数； 定义6 (对称矩阵) 设A=aij是 n 阶矩阵。若其元素满足： AT=A， aij=ajii,j若其元素满足： aij=-ajii,j则称A是反对称矩阵。此时成立 aii=0AT=-A， i。 19 例如A=-110-1是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。 B=1010显然，对角矩阵一定是对称矩阵。下面是对称矩阵的一些基本性质。 性质1 设A，B为对称矩阵，则AB仍是对称矩阵。 但注意，此时AB 不一定是对称矩阵。 例如 A=-11011-1，但 不是对称矩阵。 ,B=AB=101001下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得。 性质2 设A、B是对称矩阵，则AB是对称
7、矩阵的充分必要条件AB=BA。 性质3 设A为对称矩阵，则AT,性质4 对任意方矩阵A，则HlA 也是对称矩阵。 11(A+AT)，S(A-AT) 分别是对称矩阵和反对22称矩阵；且 A=H+S。 五、 矩阵的迹和行列式 定义7 (矩阵的迹与行列式) 设A=aij是n阶矩阵，称 tr(A)=ai=1nii为矩阵A的迹；称 a11a21Lan1a12La1na22La2nLLLan2Lann为矩阵A的行列式，记作 |A| 或det(A)。 性质1 tr(AB)=tr(BA). 性质2 |A|=|A| 性质3 |lA|=l|A| 例如 A=nT2-16-3，即 B=3A。而 |A|=5,|B|=4
8、5，即 B=3193 19 |B|=|3A|=32|A|=95=45 成立。初学者容易犯的一个错是：|lA|=l|A|。 性质4 |AB|=|A|B|。 证明 以3阶矩阵来证明。 构造6阶行列式： a11a12a13a23a3300000b11000b12000A=b13-Ib23b33O . Ba21a22D=a31a32-1000-10b21b22-1b31b32由例1.11 , D=|A|B|； 另一方面，对D做下列变换： a11a12a13a23a3300-1a11b11a31b110b21b31a11b12a31b120b22b32a11b13a21b13a31b130b23b33。
9、 a21a22a31a32第一步： 消去 b11,b12,b13 D=-1000-10a21b11a21b12第二步、地三步： 消去 b21,b22,b23 和 b31,b32,b33 a11a12a13a23a33aak=13k=1k=1331kk1baak=13k=1k=1331kk2baak=13k=1k=1331kk3ba21a22D=a31a322kk1b2kk2b2kk3ba3kk1ba3kk2ba3kk3b=A-IAB O-1000-1000-1000000000再进行行的交换，rjr3+j,j=1,2,3 -I于是 D=(-1)A3O 。 AB33再由例1.11，得到 D=(-
10、1)|-I|AB|=(-1)(-1)|AB|=|AB|, 从而结论成立。 3 19 定义8 ( 伴随矩阵 ) 设A=aij，由行列式 |A| 的代数余子式 Aij 所构成的矩阵 A*=称之为矩阵A的伴随矩阵。 A11A12LA1nA21LA22LA2nAn1LAn2 ， LLLAnn注意到，伴随矩阵A在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的代数余子式。 例如， A=定理1 成立 *124-2* 的伴随矩阵是 A=-31。 34AA*=A*A=|A|I 证明 记 B=AA，由矩阵的乘法，展开定理1.3及推论1.3，得 *|A|,j=i AA*=|A|I。 bij=ai1Aj1+ai2
11、Aj2+L+ainAjn=0,ji123例11 求矩阵 A=221的伴随矩阵。 3436-42*解 A=-3-65。 并 A*A=22-2*注意到|A|=2。同理可验证 AA=|A|I。 200020=2E=|A|I； 002 2.3 逆矩阵 知识点：逆矩阵的定义，逆矩阵存在的充分必要条件。 一、逆矩阵 定义9 设A是n阶矩阵，若存在矩阵B，使得 AB=BA=I， 19 则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵；并称A是可逆矩阵。 10202例如 A=31，则 B=-31 是A的逆矩阵。 2性质1 逆矩阵是唯一的。 如此，可用 A 来表示A的逆矩阵。 证明 设B，C均是A的逆矩阵，则 -1B=BI=B(AC
12、)=(BA)C=IC=C。 定理2 矩阵A是可逆的充分必要条件是其行列式 |A|0；且在 |A|0时， A-1=证明 必要性 由AA-11*A。 |A|=I，|A|A-1|=|AA-1|=|I|=1，故 |A|0. 充分性 由定理1， AA*=A*A=|A|I。 由于|A|0， A(1*1*A)=(A)A=I。 |A|A|有时称可逆矩阵为非奇矩阵；称不可逆矩阵为奇异矩阵。 123A=221例12 求矩阵 的逆矩阵。 343解 按定理1，只需求出A的伴随矩阵。由例11，我们已有A的伴随矩阵，于是 6-421*1-1A=A =-3-65。 2|A|2-22-1推论2 若AB=I，则A非奇，且B=A
13、。 -1证明 因为 |A|B|=|AB|=|I|=1，故 |A|0，从而 A 存在。于是 B=IB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1I=A-1。 -1例13 已知矩阵A满足 A-A=2I，证明 A,A+2I 均可逆；并求 A,2(A+2I)-1 证明： A(A-I)=2I,(A-3I)(A+2I)=-3I 19 利用逆矩阵求方程组的解。记 a11a12La1nx1A=aaLa21b1222nLLL，X=x2M，B=b2LM， an1an2Lannxnbn根据矩阵乘法，方程组可以写成下列矩阵形式， AX=B, 其中，称A为方程组的系数矩阵。若|A|0，则A-1 存在，可得方程组的解例14
14、求方程组的解 x1+2x2+3x3=-22x1+2x2+x3=1 3x1+4x2+3x3=06-4-21解 X=A-1B=122-3-651=0 。 22-20-1性质2 若A非奇，则 A-1 亦非奇，且(A-1)-1=A. 性质3 若A非奇，l0，则 lA 亦非奇，且(lA)-1=1lA-1. 性质4 若A、B非奇，则 AB 亦非奇，且(AB)-1=B-1A-1. 性质5 若A非奇，则 AT 亦非奇，且(AT)-1=(A-1)T. 性质6 若A非奇，则 |A-1|=1|A|. 矩阵的负幂 设|A|0，定义 A-k=(A-1)k。 例15 设矩阵A是对角矩阵，求其逆矩阵。 X=A-1B. 19
15、 2.4 矩阵的分块 知识点：分块的目的，一些特殊结构矩阵的分块运算。 把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的，有时会对一些具有特殊结构的矩阵的运算带来方便，如乘法和求逆等。而在具体运算时，则把这些小矩阵看作数一样进行运算。这种把一个矩阵划分成一些小矩阵，就是所谓的矩阵分块。 设 10A=-110121001000,0110-12B=10-1-1304221 10我们对A与B进行不同形式的划分，来进行A与B的基本运算。 划分一、把矩阵A与B分别分划成4个22小矩阵： I2OA=AI,12B11B=B21B12， B22现在我们对矩阵A,B进行乘积运算，把这些小矩阵看作数一样来处理，按乘法运算规则，
16、 I2OB11AB=AI12B21B12= B22 B11AB+B21111 A1B12+B22B12计算出 A1B11+B21，和 A1B12+B22，可得 1-1AB=-2-1同样，我们也可以进行加法、数乘的运算： 0241301521. 13I2+B11A+B=A+B2113I2O ，3A=3A3I。 I2+B2221B12划分二、把矩阵A与B按下列形式划分成4个小矩阵： 19 A11A=A21其中 A11=0A12B11B=，BA2221B12 B221000-1210， ，； A=A=A=122122100110110321041B11=，B12=1， B21=-1-12，B22=0
17、。 -120按这种划分进行乘法运算，即 A11AB=A21A12B11A22B21B12= B22 A11B11+A12B21AB+AB22212111A11B12+A12B22 ， A121B12+A22B22此时所有的小矩阵乘积运算都是没有定义的。 划分三、对矩阵A的划分不变，而B的划分改成为： 1032B11=-120，B12=1， B21=(-1-12)，B22=(0)。 1041此时AB的运算也可以按分块形式进行： A11AB=A21A12B11A22B21B12= B22 A11B11+A12B21AB+AB22212111A11B12+A12B22 ， A121B12+A22B2
18、2但此时小矩阵之间的乘法运算并没有给我们带来方便，不如划分一这样简单。 因此在对矩阵进行分块运算时，特别是乘法运算和求逆运算，矩阵的划分一定要注意到： 1）矩阵的行列对应，以保证小矩阵的运算可以进行。 2）针对矩阵的结构进行划分，以给运算带来方便。 例16 设 D 是一个阶矩阵，按下列形式划分成4个小矩阵， D=CAO， B-1其中A、B分别是s阶和t阶的非奇矩阵，求D。 解 设 D-1X11=X21X12A-1-1-1，根据 DD=I，得 D=-B-1CA-1X22O. -1B 19 特别，当C=O时，有 A-1AO OB=O-1O. -1B500-1D=131例17 设 ， 求D。 021
19、这些结论可以推广到一般情况： A11A21A=LAp1OA22LAp2OLOLLLAppL称为块下三角矩阵，其逆矩阵一定也是块下三角矩阵。下列形式的矩阵称之为块对角矩阵，成立 A1OLOOA2LOA1-1LOLOO=LLLOLAp-1O-1A2LOLOLOLL-1LAp。 矩阵的一种重要划分是所谓的按列划分和按行划分。设A是一个mn矩阵 把矩阵的每一列看成是一个m1的小矩阵aj，于是A可以写成 A=(a1a2Lan)； 类似地，把矩阵的每一行看成是一个1n的小矩阵ai，于是A可以写成 a1aA=2。 Mam 19 2.5 矩阵的初等变换 知识点：初等变换、初等矩阵，化矩阵为行阶梯型、行最简型以
20、及标准型；矩阵的等价与矩阵等价于标准型。 一、引例 - 线性方程组的Gauss 消元法 a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1ax+ax+L+ax=b2112222nn2 LLLLLLLLLLLLam1x1+am2x2+L+amnxn=bm线性方程组的矩阵形式： AX=B a11a12a21a22增广矩阵： A=(A,B)=LLam1am2例18 用Gauss消元法求解线性方程组 La1nLa2nLLLamnb1b2 Lbmx1+2x2-5x3=192x1+8x2+3x3=-22x+3x+2x=-11231x1+2x2-5x3=19x2+7x3=-30解 消元 ： x3=-4消元结束。再
21、回代。 可得到方程组的解为x1=3,x2=-2,x3=-4 x1也可以继续消元： =3x2=-2x3=-4对方程组用了以下三种变换：1）互换两个方程的位置；2) 用一个不等于零的数乘某一个方程；3) 某一个方程加上另一个方程的k倍。相应地矩阵也有上述三种变换。 施行这三种变换不会改变方程组的同解性。 19 二、矩阵的初等变换 定义11 矩阵的初等行变换是指下列三种变换： (1) 对换：互换矩阵中两行的位置； (2) 倍乘：用一个非零数k乘矩阵的某一行； (3) 倍加：矩阵的某一行元素加上另一行对应元素的k倍； 例19 用初等行变换化矩阵A为上三角形矩阵 2-111A=-13-2114112-1
22、2-10-1-12 .00-16 1-11100017行阶梯形矩阵是指满足下列两个条件的矩阵： (1) 矩阵的零行全部位于非零行的下方； (2) 各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上至下严格递增。 230-2例如，矩阵0000100020307400023031是一个行阶梯形矩阵，下列矩阵则不是 202-13438003480,1-2004-1000100204030 50401210,0-20000行最简形矩阵：若行阶梯形矩阵还满足 (1) 所有非零行的左起第一个非零元素均为1； (2) 各个非零行的左起第一个非零元素所在的列的其余元素都是零。 19 230-2000074000230
23、1301 还可进一步通过行初等行变换化为 20005411-206 20013000000132定理3 任意一个非零矩阵总可经过行初等变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 证明 因AO，在A的第一列元素中找一个非零元素，若全为零，则在第二列中找，依此类推。不妨设a110，对A施行初等行变换，得 a11a120b22ALL0bm2La1nLb2na11=OLLLbmnA12=B A22如果A22=O，则A已化为行阶梯形，如果A22O，同样在A22的第一列元素中找第一个非零元素，若全为零，则在第二列中找。不妨设b220，重复上述步骤，必可得到矩阵 a11a12a130b22b2300c33LLL0
24、00000LLL000LLLLLLLLa1rb2rc3rLdrr0L0LLLLLLLLa1nb2nc3nL. drn0L0其中，a11,b22,L，都不等于零。故得到A的行阶梯形矩阵，再施行初等行变换，得 n100L0La1n010L0Lb2001L0Lc3nLLLLLLL， 即为行最简形矩阵。 000L1Ldrn000L0L0LLLLLLL000L0L0 19 例20 化下列矩阵为行阶梯形矩阵，及行最简形矩阵： 1111-1 121； 21134031230-21 1725214010定义12对单位矩阵I施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。 1对换矩阵 记为Iij。 2倍乘矩阵 记为
25、Ii(k), 其中 k0。 3倍加矩阵 记为Iij(k), 第i行加上第j行的k倍，或等价地说，第j列加上第i列的k倍， 1-30例如：I12(-3)=010 001性质1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵， 1-1I-1ij=Iij； Ii(k)=Ii； I-1ij(k)=Iij(-k)。 k性质2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵， ITij=Iij； ITi(k)=Ii(k)； Iij(k)=Iji(k)。 性质3 对mn矩阵A施行一次行初等变换相当于用一个同类m阶初等矩阵左乘A； 而施行一次列初等列变换相当于用一个同类n阶初等矩阵右乘A。 例21 验证： Ta31a21a1
26、1a11a21a31a32a22a12ka12ka22ka32a33001a11a23=010a21a13100a31a13a11a23=a21a33a31a12a22a32a12a22a32a13a23, a33a13100a230k0, a33001 19 a11+ka31a21a31a12+ka32a22a32a13+ka3310ka11a23=010a21a33001a31a12a22a32a13a23. a33三、矩阵的等价 定义13 若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价，记为AB。 或 AB。 矩阵等价的三个性质： (1) 自反性：对任一矩阵A，有AA； (2) 对
27、称性：若AB，则 BA；故 AB。 (3) 传递性：若AB，BC，则 AC。 证明： B=PkLP1A,C=QmLQ1B,C=QmLPkLP1A, A与C等价 。 由定理3，任意一个矩阵均可与行阶梯形矩阵等价，也可与行最简形矩阵等价。进一步，还可有： 定理4 任意一个mn非零矩阵A都可经初等变换化为下列形式的矩阵 10L00L001L00L0LLLLLLLIr 00L10L0=00L00L0OLLLLLLL00L00L0OO(1rmin(m,n) 称为矩阵A的标准形矩阵。即任意一个非零矩阵与它的标准形矩阵是等价的。 证明 在行最简型基础上再施行列初等变换即可。 19 1-23-401-11例2
28、2 化矩阵A=为标准形。 130-30-73110解 A00定理5 对任意一个mn非零矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得0100001c+c20-1c404+2c31-200000100001000 00IrOPAQ=OO。 证明 由定理4，有PsLP1AQ1LQt=OIrO，记P=PsLP1，Q=Q1LQt即可， O定理6 (1) n阶可逆矩阵A的标准形为单位矩阵In。 (2) 任意n阶可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵乘积。 (3) 任意n阶可逆矩阵A仅经行初等变换即可化为单位矩阵In。 IrO证明 (1) 由定理5，成立 PAQ=OO, 故 IrO=|PAQ|=|P|A|Q|0，故必有r=n。
